揭秘动态规划解决子序列问题的模板化思路

见解分享

2023-10-24 15:17:58

动态规划在算法界以其优雅、强大的解题思路而闻名，尤其在子序列问题中更是大显身手。子序列问题通常涉及查找两个序列中具有特定特征的子序列，例如最长公共子序列、最长上升子序列等。

虽然子序列问题千变万化，但其本质却有着惊人的相似之处。正因如此，我们可以抽象出一个模板化的思路，用它来解题收放自如。

划破迷雾：理解动态规划模板

动态规划模板的核心思想是将问题分解成一系列子问题，然后逐个解决。对于子序列问题，我们可以将它们分解成以下步骤：

明确子问题的状态： 确定用来子问题的状态变量，通常包括两个序列的位置索引。
定义状态之间的转移方程： 根据子问题的状态，如何从一个状态转移到另一个状态。
初始化基线状态： 设置子问题的边界条件，通常是最小或最简单的子问题。
逐个求解子问题： 按照状态变量的顺序，逐个求解每个子问题，直到得到最终解。

精妙示范：实例解读

让我们以一个经典子序列问题——最长公共子序列为例。

状态定义： 两个序列的索引i和j。

转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 (if s[i] == t[j])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (otherwise)

基线状态：

dp[0][j] = 0 (for all j)
dp[i][0] = 0 (for all i)

通过遵循这个模板，我们可以逐个求解子问题，最终得到两个序列的最长公共子序列。

点亮思路：模板的泛化应用

动态规划子序列问题的模板并不局限于最长公共子序列问题。它还可以灵活应用于其他子序列问题，例如：

最长上升子序列
最长递增子序列
最长回文子序列
最长公共子串

只要对问题进行适当的抽象和分解，就可以使用相同的模板来解决这些问题。

循序渐进：示例代码指引

为了更好地理解这个模板，让我们编写一个Python代码来求解最长公共子序列问题：

def lcs(s1, s2):
  m, n = len(s1), len(s2)
  dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

  for i in range(1, m + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
      else:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

  return dp[m][n]