非整数背包问题的动态规划求解

什么是0-1背包问题

0-1背包问题是一个经典的背包问题，在背包问题中，我们有n件物品和一个容量为c的背包，每件物品都有其自己的重量和价值。问题是找出一种方法，将尽可能多的物品装入背包，使得背包中的物品的总价值最大。

什么是非整数背包问题

非整数背包问题与0-1背包问题类似，但有一个关键的区别：物品的重量和价值可以是分数。这意味着我们无法直接将物品装入背包，而必须先将它们分成更小的部分。

非整数背包问题的动态规划求解方法

非整数背包问题的动态规划求解方法与0-1背包问题的动态规划求解方法非常相似。唯一不同的是，在非整数背包问题中，我们需要使用分数规划来计算物品的分数。

分数规划是一种数学方法，用于在分数约束下找到最优解。在非整数背包问题中，分数约束是背包的容量。分数规划的目的是找到一种方法，将尽可能多的物品装入背包，使得背包中的物品的总分数最大。

分数规划的步骤

分数规划的步骤如下：

1. 将物品按其分数从高到低排序。
2. 从排序后的物品中，依次将物品装入背包。
3. 如果当前物品的重量超过了背包的剩余容量，则将当前物品分成更小的部分，并继续装入背包。
4. 重复步骤2和步骤3，直到背包装满或所有物品都已装入背包。

非整数背包问题的动态规划求解示例

为了更好地理解非整数背包问题的动态规划求解方法，我们来看一个示例。

假设我们有以下4件物品：

物品	重量	价值
A	2.5	3
B	1.5	2
C	3.5	4
D	2	3

背包的容量为6。

按照上述步骤，我们可以求出最优解：

1. 将物品按其分数从高到低排序。

物品A的分数为3/2.5=0.12，物品B的分数为2/1.5=1.33，物品C的分数为4/3.5=1.14，物品D的分数为3/2=1.5。

因此，排序后的物品为D、B、C、A。

2. 从排序后的物品中，依次将物品装入背包。

首先，我们将物品D装入背包。物品D的重量为2，背包的剩余容量为6-2=4。

接下来，我们将物品B装入背包。物品B的重量为1.5，背包的剩余容量为4-1.5=2.5。

物品C的重量为3.5，大于背包的剩余容量。因此，我们将物品C分成两部分，一部分的重量为2.5，另一部分的重量为1。我们将重量为2.5的部分装入背包，重量为1的部分留在背包外。

最后，我们将物品A装入背包。物品A的重量为2.5，背包的剩余容量为2.5-2.5=0。

3. 重复步骤2和步骤3，直到背包装满或所有物品都已装入背包。

至此，背包已经装满，我们已经找到了最优解。背包中的物品为D、B、C（的一部分）和A。

结论

非整数背包问题是背包问题的一个变种，其特点是物品的重量和价值可以是分数。非整数背包问题的动态规划求解方法与0-1背包问题的动态规划求解方法非常相似，唯一不同的是，在非整数背包问题中，我们需要使用分数规划来计算物品的分数。