天梯智造，通关LeetCode70：攀爬算法巅峰，点亮思维新高度

征服LeetCode70：攀登算法天梯

踏上征程

在LeetCode的竞技场上，算法谜题如天梯般耸立，考验着程序员的智慧与毅力。今天，我们踏上征服LeetCode第70题的征途：爬楼梯。这道看似简单的题目，却蕴藏着奇妙的解法与深刻的内涵。

直面天梯，步步为营

想象自己正在爬楼梯。你需要n 步才能到达顶端，每次可以爬1步或2步。有多少种不同的方法可以爬到顶端？

乍看之下，这似乎很容易。我们只需要枚举出所有的爬楼梯方案，然后统计方案数即可。然而，随着n 的增大，这种枚举方法的时间复杂度会呈指数级增长。我们需要寻找一种更优化的解法。

动态规划，智胜天梯

动态规划是一种强大的算法技术，它将复杂的问题分解成一系列子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到问题的整体解法。对于LeetCode第70题，我们可以将问题分解成以下子问题：

• 当需要爬1步时，有多少种不同的方法可以爬到顶端？
• 当需要爬2步时，有多少种不同的方法可以爬到顶端？
• 当需要爬n 步时，有多少种不同的方法可以爬到顶端？

我们知道，当需要爬1步时，只有一种方法可以爬到顶端，即直接爬1步。当需要爬2步时，有两种方法可以爬到顶端，即先爬1步再爬1步，或者直接爬2步。当需要爬n 步时，我们可以将问题分解为需要爬n-1 步和需要爬n-2 步这两个子问题。然后，我们可以根据子问题的解法来得到n 步的解法。

递归解法，纵览全局

除了动态规划之外，我们还可以使用递归来解决LeetCode第70题。递归是一种将问题分解成更小规模的相同问题，然后通过不断地调用自身来解决这些子问题，最终得到问题的整体解法。

对于LeetCode第70题，我们可以将问题分解成以下子问题：

• 当需要爬1步时，有多少种不同的方法可以爬到顶端？
• 当需要爬2步时，有多少种不同的方法可以爬到顶端？
• 当需要爬n 步时，有多少种不同的方法可以爬到顶端？

我们知道，当需要爬1步时，只有一种方法可以爬到顶端，即直接爬1步。当需要爬2步时，有两种方法可以爬到顶端，即先爬1步再爬1步，或者直接爬2步。当需要爬n 步时，我们可以将问题分解为需要爬n-1 步和需要爬n-2 步这两个子问题。然后，我们可以通过递归调用自身来解决这两个子问题，并根据子问题的解法来得到n 步的解法。

空间优化，巧夺天工

在动态规划和递归的解法中，我们都需要使用数组来存储子问题的解法。然而，当n 值较大时，数组的存储空间可能会非常大。因此，我们需要对算法进行空间优化，以减少数组的存储空间。

对于动态规划解法，我们可以使用滚动数组来优化空间。滚动数组只存储当前子问题的解法，而不需要存储所有子问题的解法。这样，我们可以将空间复杂度从O(n) 优化到O(1) 。

对于递归解法，我们可以使用备忘录来优化空间。备忘录存储已经解决过的子问题的解法。当我们再次遇到相同的子问题时，我们可以直接从备忘录中获取解法，而不需要重新计算。这样，我们可以将空间复杂度从O(n) 优化到O(n) 。

结语：天梯虽高，志在必得

LeetCode第70题看似简单，但它却蕴藏着丰富的算法思想和技巧。通过对这道题的学习，我们可以深入理解动态规划和递归这两种算法技术，并掌握空间优化等技巧。这些知识和技巧不仅可以帮助我们解决LeetCode中的难题，而且可以应用到实际的编程工作中，让我们成为更加优秀的程序员。

常见问题解答

1. 动态规划和递归哪种方法更好？

   • 动态规划和递归都是解决LeetCode第70题的有效方法。动态规划具有较好的空间复杂度，而递归具有较好的时间复杂度。具体选择哪种方法取决于问题的规模和具体要求。

2. 空间优化对算法性能的影响有多大？

   • 空间优化可以显著提高算法的性能。在LeetCode第70题中，空间优化可以将动态规划和递归的算法复杂度从O(n) 降低到O(1) 或O(n) 。

3. LeetCode70题还有其他解法吗？

   • 除了动态规划和递归之外，还可以使用数学归纳法、矩阵快速幂等方法来解决LeetCode第70题。

4. 如何提高解决算法谜题的能力？

   • 多练习、多总结、多思考。尝试从不同的角度思考问题，探索不同的解法。

5. LeetCode第70题对实际编程有什么意义？

   • LeetCode第70题中涉及的算法思想和技巧在实际编程中广泛应用，如组合计数、动态规划、递归等。通过解决这道题，我们可以提高解决实际编程问题的能力。

代码示例

Python动态规划解法：

def climb_stairs(n):
  dp = [0] * (n + 1)
  dp[1] = 1
  dp[2] = 2
  for i in range(3, n + 1):
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  return dp[n]

Python递归解法：

def climb_stairs(n):
  if n == 1:
    return 1
  elif n == 2:
    return 2
  else:
    return climb_stairs(n - 1) + climb_stairs(n - 2)