轻装上阵爬楼梯，动态规划找捷径

2024-01-17 08:24:59

当我们漫步在高耸入云的楼梯前，总会琢磨着如何以最少的代价登顶。不妨将这一过程转化为计算机可理解的模型，我们试图探索最省力的攀登方案。这就是“动态规划Ⅱ（使用最小花费爬楼梯，不同路径）”的本质：用算法在虚拟空间中模拟真实的行动，找到最优路径。

让我们剥丝抽茧，深入理解动态规划的核心思想。它是一种按步骤求解问题的算法，其精髓在于将大问题分解成若干个相对容易解决的小问题。小问题解决了，大问题也就迎刃而解了。为了掌握动态规划的奥秘，不妨遵循这五个步骤：

明确子问题 ：将大问题分解成多个可独立解决的子问题，使之更为简单可控。
构建状态空间 ：明确子问题的各个状态，及其对应的存储方式。
确定状态转移方程 ：找到状态间转移的规律，以便计算下一状态的值。
寻找初始状态 ：确定整个问题的初始值，以此作为递归的起点。
反向求解 ：从终点一路回溯到起点，最终得到问题的解。

为深入理解动态规划思想，我们不妨举一个生动的例子。假定有这样一个问题：有n级楼梯，每次可以走一步或两步，问有多少种不同的走法。初始状态就是n=0，因为不走一步都不算走。走一步是状态n-1，走两步是状态n-2。有了这两个初始状态，我们就可以一路往前推进。我们可以通过状态转移方程f(n) = f(n-1) + f(n-2)来计算f(n)的值。

理论说得精彩，我们不妨将之付诸实践。下面用Python编写代码，具体演示动态规划是如何解决“动态规划Ⅱ（使用最小花费爬楼梯，不同路径）”问题的：

def min_cost_climbing_stairs(cost):
    n = len(cost)
    dp = [0] * (n + 1)  # 状态空间，存储从0到n的最小花费
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
    return dp[n]


if __name__ == "__main__":
    cost = [10, 15, 20]
    print(min_cost_climbing_stairs(cost))  # 输出：35