算法修炼系列：LeetCode一和零解题指南与经验分享

2024-02-08 16:18:52

前言

LeetCode一和零 是LeetCode上的一道经典背包问题，旨在考察算法爱好者对动态规划的理解和运用。这道题目的核心在于求解在给定条件下，如何选择最多的物品，以满足特定需求。对于算法初学者来说，这道题是一个很好的实践机会，可以帮助他们巩固对背包问题的理解。

问题

题目

给你一个由字符 "0" 和 "1" 组成的字符串 s 和一个整数 k 。如果只将 s 中的全部字符进行一次字符替换，替换规则为将所有的 "0" 替换为 "1" 或者将所有的 "1" 替换为 "0"，请问你最多可以替换多少个字符，使得替换后的字符串中 0 和 1 的数量相等。

注意：

s.length <= 1000
s 中只包含字符 "0" 和 "1"
1 <= k <= s.length

示例 1：

输入：s = "00110", k = 1
输出：4
解释：我们可以将 "00" 替换为 "11"，将 "11" 替换为 "00"，这样得到的字符串中 0 和 1 的数量相等。

示例 2：

输入：s = "10101", k = 2
输出：4
解释：我们可以将 "10" 替换为 "01"，将 "10" 替换为 "01"，这样得到的字符串中 0 和 1 的数量相等。

示例 3：

输入：s = "0", k = 0
输出：0
解释：由于 k 为 0，所以不能进行任何替换操作。

思路与解法

这道题的关键在于将问题转化为一个背包问题。我们可以把字符串中的每个字符看作一个物品，将替换操作看作背包容量，这样就可以把问题转化为一个背包问题。

具体来说，我们可以定义一个状态 dp[i][j]，其中 i 表示当前处理到的字符串位置，j 表示当前剩余的替换次数。dp[i][j] 的值表示在当前位置 i 和剩余替换次数 j 的情况下，最多可以替换多少个字符，使得替换后的字符串中 0 和 1 的数量相等。

状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + (s[i] == '0' ? 1 : -1))

其中：

dp[i-1][j] 表示在当前位置的前一个位置 i-1 和剩余替换次数 j 的情况下，最多可以替换多少个字符，使得替换后的字符串中 0 和 1 的数量相等。
dp[i-1][j-1] + (s[i] == '0' ? 1 : -1) 表示在当前位置的前一个位置 i-1 和剩余替换次数 j-1 的情况下，最多可以替换多少个字符，使得替换后的字符串中 0 和 1 的数量相等，然后再将当前位置 i 的字符替换为与之前相反的字符（如果 s[i] 是 0，则替换为 1，反之亦然）。

需要注意的是，在进行状态转移时，我们需要考虑以下两种情况：

如果 s[i] 是 0，那么替换后字符串中 0 的数量会增加 1，1 的数量会减少 1。
如果 s[i] 是 1，那么替换后字符串中 0 的数量会减少 1，1 的数量会增加 1。

根据以上的状态转移方程，我们可以使用动态规划算法求解这道题。具体步骤如下：

初始化状态 dp 数组。
对于字符串中的每个字符 s[i]，从右到左进行遍历。
对于剩余替换次数 j，从 k 到 0 进行遍历。
根据状态转移方程计算 dp[i][j] 的值。
返回 dp[n-1][k] 的值，其中 n 是字符串 s 的长度。

代码实现

def max_replacements(s, k):
    """
    返回最多可以替换的字符数量，使得替换后的字符串中 0 和 1 的数量相等。

    参数：
        s: 给定的字符串
        k: 允许的替换次数

    返回：
        最多可以替换的字符数量
    """

    n = len(s)
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(k, 0, -1):
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j - 1] + (s[i] == '0' ? 1 : -1))

    return dp[0][k]