动态规划解锁台阶跳跃之谜，一文带你玩转算法

2023-08-04 11:06:16

动态规划：化繁为简，逐级递进

在计算机科学的浩瀚世界中，动态规划是一颗璀璨的明珠，它拥有化繁为简的独特魅力。当我们面对复杂的问题，不知从何下手时，动态规划便如同一缕曙光，指引我们找到最优解。

台阶跳跃：动态规划的经典例题

想象一下，你面前有一座宏伟的台阶，你需要从底端一步步跳跃至顶端。每次跳跃，你可以选择向上跳一格或两格。问题来了，有多少种不同的跳法可以让你成功登顶？

递推关系：抽丝剥茧，层层递进

解决此类问题时，动态规划的关键在于建立递推关系。在这个例子里，我们可以定义一个函数 f(i)，表示跳上第 i 级台阶的方法数。根据题意，如果我们已经能够跳上第 i-1 级台阶和第 i-2 级台阶，那么跳上第 i 级台阶的方法数就是这两种方法数之和。因此，递推关系为：

f(i) = f(i-1) + f(i-2)

基线条件：步步为营，奠定基础

有了递推关系，还需要明确基线条件，即当 i 为 0 或 1 时的 f(i)。由于从第 0 级台阶跳到第 0 级台阶只有一种方法，因此 f(0) = 1。从第 1 级台阶跳到第 1 级台阶也只有一种方法，因此 f(1) = 1。

动态规划表：逐级递进，构建最优解

有了递推关系和基线条件，我们可以逐级构建一张动态规划表，从最简单的子问题开始，一步步求解更大的子问题。对于台阶跳跃问题，动态规划表如下：

i	f(i)
0	1
1	1
2	2
3	3
4	5
...	...
n	...

时间复杂度：层层优化，高效求解

动态规划算法的时间复杂度取决于子问题的数量和求解每个子问题的复杂度。在台阶跳跃问题中，子问题的数量为 n，求解每个子问题的复杂度为常数时间。因此，动态规划算法的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：优化存储，精简内存

动态规划算法的空间复杂度取决于需要存储的子问题的数量。在台阶跳跃问题中，我们需要存储 n 个子问题。因此，动态规划算法的空间复杂度为 O(n)。

代码示例：实践出真知，妙笔生花

def climb_stairs(n):
  """
  Computes the number of ways to climb n stairs,
  where you can either take 1 or 2 steps at a time.

  Args:
    n: The number of stairs.

  Returns:
    The number of ways to climb the stairs.
  """

  # Initialize the array to store the number of ways to climb
  # each stair.
  dp = [0] * (n + 1)

  # Fill the array in bottom-up manner.
  dp[0] = 1
  dp[1] = 1
  for i in range(2, n + 1):
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

  # Return the number of ways to climb the last stair.
  return dp[n]