算法突破：如何找到第 n 个丑数

后端

2023-12-06 22:17:38

一、丑数的定义和特点

丑数是指仅包含质因子 2、3 和 5 的正整数，如 6、8、10、14 等都是丑数。丑数的生成存在一些有趣的特点：

1 是最小的丑数。
每个丑数都必须由一个更小的丑数乘以 2、3 或 5 得到。
对于任意一个正整数 n，存在一个唯一的丑数为第 n 个丑数。

二、算法详解：寻找第 n 个丑数

为了找出第 n 个丑数，我们可以借助动态规划的思想来构建一个算法。具体步骤如下：

初始化：创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示第 i 个丑数。dp[0] 被定义为 1，因为 1 是最小的丑数。
初始化三个指针 p2、p3 和 p5，分别指向 dp 数组中包含质因子 2、3 和 5 的最小值的索引。
从 i = 1 开始，依次生成第 i 个丑数：
- 计算三个指针指向的丑数的最小值，并将其存储在 dp[i] 中。
- 如果 dp[i] 可以被 2 整除，则将 p2 加 1，表示已经找到了包含质因子 2 的下一个最小丑数。
- 如果 dp[i] 可以被 3 整除，则将 p3 加 1，表示已经找到了包含质因子 3 的下一个最小丑数。
- 如果 dp[i] 可以被 5 整除，则将 p5 加 1，表示已经找到了包含质因子 5 的下一个最小丑数。
重复步骤 3，直到生成第 n 个丑数。

这种算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

三、代码实现

以下是用 Python 实现的算法代码：

def ugly_number(n):
  """
  返回第 n 个丑数。
  """
  # 初始化数组 dp 和三个指针 p2、p3 和 p5
  dp = [0] * n
  dp[0] = 1
  p2 = p3 = p5 = 0

  # 从 i = 1 开始生成丑数
  for i in range(1, n):
    # 计算三个指针指向的丑数的最小值
    next_ugly_number = min(dp[p2] * 2, dp[p3] * 3, dp[p5] * 5)

    # 将最小值存储在 dp[i] 中
    dp[i] = next_ugly_number

    # 如果 dp[i] 可以被 2 整除，则将 p2 加 1
    if next_ugly_number == dp[p2] * 2:
      p2 += 1

    # 如果 dp[i] 可以被 3 整除，则将 p3 加 1
    if next_ugly_number == dp[p3] * 3:
      p3 += 1

    # 如果 dp[i] 可以被 5 整除，则将 p5 加 1
    if next_ugly_number == dp[p5] * 5:
      p5 += 1

  # 返回第 n 个丑数
  return dp[n - 1]


# 测试代码
n = 10
print(ugly_number(n))