动态规划演练场：0-1背包问题与多种解决策略

2023-10-18 10:26:42

从0-1背包问题认识动态规划

0-1背包问题是动态规划中最经典的问题之一。它可以为：在一个背包中装入一定数量的物品，每个物品都有自己的重量和价值，目标是在满足背包承重限制的前提下，装入总价值最高的物品。

理解0-1背包问题是学习动态规划的第一步，也是理解动态规划思想和实现方法的关键。下面，让我们一起探索0-1背包问题的解决方案。

动态规划解题思路：

动态规划是一种自底向上的算法设计方法，以递推的形式求解复杂问题。对于0-1背包问题，我们可以从最简单的情况开始，逐步扩展到更复杂的情况，最终求出问题的最优解。

1. 自顶向下：

自顶向下的方法是从问题的最优解开始，一层一层往下分解，直到找到最基础的情况。在0-1背包问题中，我们从背包中取出所有物品，然后一层一层地把它们放回去，每放一件物品，我们就计算出当前背包中物品的总价值和总重量。如果当前背包中的总重量不超过背包的承重限制，那么我们就继续放下一件物品；否则，我们就停止放物品，并记录下当前背包中的总价值和总重量。当所有物品都放完后，我们就能找到背包中总价值最高的那组物品。

2. 自底向上：

自底向上的方法是从问题的最基础情况开始，一层一层地向上推导，直到找到最优解。在0-1背包问题中，我们从背包中取出所有物品，然后一层一层地把它们放回去，每放一件物品，我们就计算出当前背包中物品的总价值和总重量。如果当前背包中的总重量不超过背包的承重限制，那么我们就继续放下一件物品；否则，我们就停止放物品，并记录下当前背包中的总价值和总重量。当所有物品都放完后，我们就能找到背包中总价值最高的那组物品。

3. 记忆化搜索：

记忆化搜索是一种优化自顶向下的方法，它利用一个表来记录已经计算过的子问题的解，以避免重复计算。在0-1背包问题中，我们可以使用一个二维表来记录已经计算过的子问题的解。表中的每一行代表一个背包容量，每一列代表一种物品。表中的每个元素代表将该物品放入背包中所获得的最高价值。当我们需要计算一个子问题的解时，我们先检查一下这个子问题的解是否已经计算过。如果已经计算过，我们就直接从表中读取结果；否则，我们就计算这个子问题的解，并将结果存储在表中。

代码示例：

def knapsack(items, capacity):
  """
  求解0-1背包问题。

  参数：
    items: 物品列表，每个物品都有自己的重量和价值。
    capacity: 背包容量。

  返回：
    背包中物品的最高总价值。
  """

  # 创建一个二维表来记录已经计算过的子问题的解。
  dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(len(items) + 1)]

  # 逐行逐列地填充表格。
  for i in range(1, len(items) + 1):
    for j in range(1, capacity + 1):
      # 如果当前物品的重量小于背包的剩余容量，那么我们可以将该物品放入背包。
      if items[i - 1].weight <= j:
        # 计算将当前物品放入背包后，背包中物品的最高总价值。
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - items[i - 1].weight] + items[i - 1].value)
      # 否则，我们将当前物品留在背包外。
      else:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]

  # 返回背包中物品的最高总价值。
  return dp[len(items)][capacity]