区间dp解北航算法往年真题：gcd之和最大子段和

2023-12-30 10:15:17

题目引入

已知最大公约数的计算满足结合律，即gcd(a,b,c)=gcd(a,gcd(b,c))=gcd(gcd(a,b),c) 另外计算gcd时有公式 cd(a,b)= gcd(b, a mod b) 计算一个数组的最大子段和，其中最大公约数最大。

区间dp算法的基本原理

区间dp算法是一种动态规划算法，它可以解决一类具有区间性质的问题。区间dp算法的基本原理是将问题分解成若干个子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将子问题的解组合起来得到整个问题的解。

在解决区间dp问题时，我们需要定义一个状态转移方程，该方程了如何从子问题的解推导出整个问题的解。状态转移方程通常是递归的，即子问题的解可以由其他子问题的解来计算。

使用区间dp算法解决北航往年考题

在解决北航往年考题时，我们可以将问题分解成若干个子问题，每个子问题对应数组的一个子段。然后，我们可以逐个解决这些子问题，并使用状态转移方程将子问题的解组合起来得到整个问题的解。

在定义状态转移方程时，我们需要考虑以下几个因素：

子问题的定义：子问题对应数组的一个子段，我们可以用子段的左右端点来表示子问题。
子问题的状态：子问题的状态包括子段的最大公约数和子段的最大和。
状态转移方程：状态转移方程了如何从子问题的解推导出整个问题的解。

在考虑了以上几个因素之后，我们可以定义以下状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + gcd(a[i], a[j]))

其中，dp[i][j]表示以a[i]和a[j]为端点的子段的最大公约数和最大和，gcd(a[i], a[j])表示a[i]和a[j]的最大公约数。

代码实现

def gcd(a, b):
    """
    计算两个数的最大公约数
    """
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def max_gcd_subarray_sum(a):
    """
    计算一个数组的最大子段和，其中最大公约数最大
    """
    n = len(a)
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        dp[i][i] = a[i]

    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j], dp[i+1][j-1] + gcd(a[i], a[j]))

    return dp[0][n-1]

if __name__ == '__main__':
    a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
    print(max_gcd_subarray_sum(a))