追寻动态规划精髓：掌握求连续子序列最大值与最大和等问题的方法

2023-09-07 21:14:21

前言

动态规划作为一种强大的算法设计范式，在解决许多计算机科学问题中发挥着至关重要的作用。它通过将问题分解成一系列相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的最优解。本文将深入探讨动态规划在求连续子序列最大值与最大和等问题中的应用，从核心思想出发，结合声网笔试题与网易互联网笔试题，循序渐进地带领读者掌握该类题目的解决之道。

动态规划的核心理念

动态规划的核心理念是将一个复杂的优化问题分解成一系列相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的最优解。其关键思想包括：

最优子结构： 问题具有最优子结构，即子问题的最优解可以用来构造整个问题的最优解。
重叠子问题： 问题存在重叠子问题，即子问题会被重复求解。
记忆化： 为了避免重复求解子问题，可以采用记忆化技术将子问题的解存储起来，以便后续复用。

求连续子序列最大值问题

问题给定一个长度为n的数字序列，对于每个1<=k<=n，求解出所有长度为k的连续子序列的最大值中的最小值。

核心思想： 求连续子序列最大值问题的核心思想是利用动态规划的思想，将问题分解成一系列相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的最优解。

步骤指南：

定义状态： 定义一个dp二维矩阵，规模为M*N，其中M表示子序列的长度，N表示子序列的起始位置。dp[i][j]表示长度为i、起始位置为j的子序列的最大值。
递推关系： dp[i][j]可以表示为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + a[j]),其中a[j]表示序列中第j个元素。
边界条件： dp[1][j] = a[j]，即长度为1的子序列的最大值等于序列中第j个元素。
状态转移方程： for i = 2 to n, for j = 1 to n-i+1, dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + a[j])。
最终结果： 问题的最终结果为min(dp[k][1], dp[k][2], ..., dp[k][n-k+1])，其中k为给定的子序列长度。

求最大和问题

问题： 给定一个长度为n的数字序列，求解出连续子序列的最大和。

核心思想： 求最大和问题的核心思想与求连续子序列最大值问题类似，同样是利用动态规划的思想，将问题分解成一系列相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的最优解。

步骤指南：

定义状态： 定义一个dp一维数组，规模为N，其中N表示子序列的起始位置。dp[i]表示以第i个元素结尾的子序列的最大和。
递推关系： dp[i]可以表示为dp[i] = max(dp[i-1], 0) + a[i]，其中a[i]表示序列中第i个元素。
边界条件： dp[1] = a[1]，即以第一个元素结尾的子序列的最大和等于序列中的第一个元素。
状态转移方程： for i = 2 to n, dp[i] = max(dp[i-1], 0) + a[i]。
最终结果： 问题的最终结果为max(dp[1], dp[2], ..., dp[n])。

实例应用

声网笔试题

问题： 给定一个长度为n的数字序列，对于每个1<=k<=n，求解出所有长度为k的连续子序列的最大值中的最小值。

解题步骤：

定义状态： 定义一个dp二维矩阵，规模为M*N，其中M表示子序列的长度，N表示子序列的起始位置。dp[i][j]表示长度为i、起始位置为j的子序列的最大值。
递推关系： dp[i][j]可以表示为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + a[j])，其中a[j]表示序列中第j个元素。
边界条件： dp[1][j] = a[j]，即长度为1的子序列的最大值等于序列中第j个元素。
状态转移方程： for i = 2 to n, for j = 1 to n-i+1, dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + a[j])。
最终结果： 问题的最终结果为min(dp[k][1], dp[k][2], ..., dp[k][n-k+1])，其中k为给定的子序列长度。