用Python 精妙破解LeetCode 378：探寻有序矩阵中的第K小元素

2023-11-24 12:55:38

欢迎踏入有序矩阵的奥秘世界，我们将一同探索如何在LeetCode 378中寻找第K小元素。沿途，您将领略从暴力解法到二分查找法的算法演进，充分感受算法的魅力和效率之美。

一、暴力解法：直接排序，轻松直达答案

最朴素的解法莫过于将矩阵的所有元素提取出来，组成一个数组，然后对数组进行排序，最后返回第K个元素。这种方法简单粗暴，但计算量过大，时间复杂度为O（n^2logn）。

def find_kth_smallest(matrix, k):
    # 将矩阵展开成数组
    arr = []
    for row in matrix:
        arr.extend(row)

    # 对数组进行排序
    arr.sort()

    # 返回第K个元素
    return arr[k-1]

二、二分查找：巧妙运用矩阵特性，大幅提升效率

若细究矩阵的特性，您会发现每行和每列都是有序的。因此，我们可以利用二分查找法来缩小搜索范围，大幅提高算法的效率。时间复杂度降至O(nlogn)，大大降低计算成本。

原理解析

在有序矩阵中，每一行和每一列都是递增的。这意味着，如果我们能确定某个值的位置，就可以通过它来确定其他位置的值。例如，如果我们找到一个中间值mid，那么我们可以统计出有多少个元素小于等于这个mid。根据这个数量与k的关系，我们可以调整搜索范围，从而逐步逼近第K小的元素。

代码实现

import bisect

def find_kth_smallest(matrix, k):
    # 二分查找的目标值
    target = k

    # 确定矩阵的行数和列数
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])

    # 二分查找的左右边界
    left, right = matrix[0][0], matrix[rows-1][cols-1]

    # 在左右边界之间进行二分查找
    while left <= right:
        # 计算中间值
        mid = (left + right) // 2

        # 统计小于等于中间值的元素个数
        count = 0
        for row in matrix:
            index = bisect.bisect_left(row, mid)
            count += index

        # 如果小于等于中间值的元素个数小于K，则将左边界更新为中间值加1
        if count < target:
            left = mid + 1

        # 如果小于等于中间值的元素个数大于等于K，则将右边界更新为中间值减1
        else:
            right = mid - 1

    # 返回第K小的元素
    return left