巧用分块算法，轻松拿下CodeForces 13E. Holes

算法导读：分块算法

分块算法是一种折衷算法，它在查询和修改操作的时间复杂度之间取得平衡。其基本思想是在数组上划分大小相等的块，并对每个块进行预处理，以便在需要时快速处理查询和修改。分块算法的时间复杂度通常为 O(√n)，其中 n 为数组的大小。

问题剖析：CodeForces 13E. Holes

CodeForces 13E. Holes 问题给定一个长度为 n 的数组，其中每个元素是一个 0 或 1。您需要处理两种类型的查询：

1. 将索引 l 到 r 范围内的所有元素翻转（0 变为 1，1 变为 0）。
2. 查询索引 l 到 r 范围内的 1 的数量。

分块算法的应用

对于给定的问题，我们可以将数组划分为 √n 个块，每个块的大小为 √n。对于每个块，我们可以预处理该块中 1 的数量。这样，对于查询 1，我们可以直接访问预处理的结果，而对于查询 2，我们可以遍历最多 √n 个块，并对每个块中的 1 的数量进行累加。

以下是分块算法在该问题中的具体步骤：

1. 初始化： 将数组划分为 √n 个大小为 √n 的块。对于每个块，预处理该块中 1 的数量。
2. 查询 1： 直接访问包含索引 l 和 r 的块的预处理结果。
3. 查询 2： 遍历包含索引 l 和 r 的块，并累加每个块中的 1 的数量。
4. 修改： 遍历包含索引 l 和 r 的块，并更新每个块中 1 的数量。

代码实现

import math

def init(arr, n):
    """
    初始化分块。

    Args:
        arr: 输入数组。
        n: 数组长度。
    """

    global block_size, blocks, block_sum

    block_size = int(math.sqrt(n))
    blocks = (n + block_size - 1) // block_size
    block_sum = [0] * blocks

    for i in range(n):
        block_sum[i // block_size] += arr[i]

def update(l, r):
    """
    翻转索引 l 到 r 范围内的元素。

    Args:
        l: 起始索引。
        r: 结束索引。
    """

    lb = l // block_size
    rb = r // block_size

    if lb == rb:
        for i in range(l, r + 1):
            arr[i] = 1 - arr[i]
            block_sum[lb] += 1
    else:
        for i in range(l, (lb + 1) * block_size):
            arr[i] = 1 - arr[i]
            block_sum[lb] += 1

        for i in range(rb * block_size, r + 1):
            arr[i] = 1 - arr[i]
            block_sum[rb] += 1

        for i in range(lb + 1, rb):
            block_sum[i] = block_size - block_sum[i]

def query(l, r):
    """
    查询索引 l 到 r 范围内的 1 的数量。

    Args:
        l: 起始索引。
        r: 结束索引。
    """

    lb = l // block_size
    rb = r // block_size

    ans = 0

    if lb == rb:
        for i in range(l, r + 1):
            ans += arr[i]
    else:
        for i in range(l, (lb + 1) * block_size):
            ans += arr[i]

        for i in range(rb * block_size, r + 1):
            ans += arr[i]

        for i in range(lb + 1, rb):
            ans += block_sum[i]

    return ans

结语

分块算法是一种强大的算法，它可以在某些情况下显著优化算法的时间复杂度。通过巧妙地划分数组并预处理块信息，我们可以将查询和修改操作的时间复杂度降低到 O(√n)，从而显著提高算法的效率。在本文中，我们展示了如何使用分块算法解决 CodeForces 13E. Holes 问题，并提供了详细的代码实现。希望这篇文章能帮助您深入理解分块算法的原理和应用场景。