树状数组的经典扩展应用 —— 树状树组

闲谈

2023-11-23 14:54:10

树状树组的实现

树状树组的实现与树状数组类似。它使用一个数组来存储数据，并使用二进制来表示每个元素在数组中的位置。树状树组的每个元素都存储一个值，这个值是该元素及其子元素的值的总和。

树状树组支持以下操作：

update(i, val)：将第i个元素的值更新为val。
query(i)：返回第i个元素的值。
range_update(l, r, val)：将区间[l, r]内所有元素的值更新为val。
range_query(l, r)：返回区间[l, r]内所有元素的值的总和。

树状树组的应用

树状树组可以用于解决许多问题，例如：

求解区间和：可以使用树状树组的range_query()操作来求解区间和。
更新区间值：可以使用树状树组的range_update()操作来更新区间值。
查找第k大元素：可以使用树状树组的range_query()操作来查找第k大元素。

举个例子

现在，我们来看一个使用树状树组解决问题的例子。

给定一个数组arr[]，我们要找到满足以下条件的区间[l, r]：

区间[l, r]内所有元素的和最大。
区间[l, r]的长度最短。

我们可以使用树状树组来解决这个问题。首先，我们将arr[]中的每个元素都离散化，然后我们就可以使用树状树组来计算区间[l, r]内所有元素的和。接下来，我们只需要找到满足条件的区间[l, r]即可。

def find_max_sum_min_length_interval(arr):
  """
  找到满足以下条件的区间[l, r]：

  * 区间[l, r]内所有元素的和最大。
  * 区间[l, r]的长度最短。

  参数：
    arr：给定的数组。

  返回：
    满足条件的区间[l, r]。
  """

  # 离散化arr[]中的元素。
  arr_discrete = list(set(arr))
  arr_discrete.sort()

  # 创建一个树状树组。
  bit = BIT(len(arr_discrete))

  # 将arr[]中的每个元素都离散化，并更新树状树组。
  for i in range(len(arr)):
    idx = arr_discrete.index(arr[i])
    bit.update(idx, arr[i])

  # 找到满足条件的区间[l, r]。
  max_sum = 0
  min_length = len(arr)
  l = 0
  r = 0
  for i in range(len(arr_discrete)):
    # 计算区间[0, i]内所有元素的和。
    sum = bit.query(i)

    # 如果区间[0, i]内所有元素的和大于max_sum，则更新max_sum和l。
    if sum > max_sum:
      max_sum = sum
      l = 0
      r = i

    # 如果区间[0, i]内所有元素的和等于max_sum，则比较区间[0, i]的长度与min_length。
    elif sum == max_sum:
      if i - l + 1 < min_length:
        min_length = i - l + 1
        r = i

  # 返回满足条件的区间[l, r]。
  return [arr_discrete[l], arr_discrete[r]]