更高效地解决N皇后Ⅱ问题：一个独特的视角
2023-10-22 22:05:16
揭开 N 皇后 II 问题的奥秘：更妙的动态规划解法
概述
在算法王国中，N 皇后问题可谓是经久不衰的经典谜题。它要求我们在 N×N 的棋盘上放置 N 个皇后，使得它们彼此之间互不攻击。换句话说，任何两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。而 N 皇后 II 问题则更进一步，它关注的是计算出满足条件的放置方案总数。
传统解法：深度优先搜索与剪枝优化
解决 N 皇后 II 问题的一种常见方法是采用深度优先搜索 (DFS) 算法，辅以剪枝优化。DFS 的基本思想是：从第一个皇后开始，依次尝试放置后续皇后，并在放置过程中运用剪枝函数剔除无效的解。剪枝函数发挥着至关重要的作用，它利用约束条件在 DFS 搜索过程中及早排除不可能得到解的子树，从而有效缩小搜索范围，提升效率。
更妙的解法：动态规划
除了 DFS，我们还可以引入一种更妙的解法：动态规划。动态规划是一种逐层分解问题，利用子问题的最优解来求解更大问题的算法技术。对于 N 皇后 II 问题，我们可以定义一个动态规划状态 dp(i, j)，表示在第 i 行第 j 列放置皇后的方案数。接下来，我们可以运用如下的状态转移方程来计算 dp(i, j)：
dp(i, j) = Σdp(i - 1, k) (k != j && k 不在皇后攻击范围内)
其中，Σ 表示求和，dp(i - 1, k) 表示在第 i-1 行放置皇后的所有方案数，k 表示第 i-1 行的列号。
通过逐步计算 dp(i, j) 的值，直到 i 等于 N，最终 dp(N, j) 的值即为 N 皇后 II 问题的解。
代码示例
为了便于理解，我们提供了一段清晰易懂的 Python 代码示例，展示了如何利用动态规划解决 N 皇后 II 问题：
def solve_n_queens_ii(n):
"""
使用动态规划解决 N 皇后 II 问题
参数：
n: 棋盘大小
返回：
放置 N 个皇后的不同方案数
"""
dp = [[0] * n for _ in range(n)] # 初始化动态规划表格
# 初始化第一行
for j in range(n):
if is_valid_position(0, j, dp):
dp[0][j] = 1
# 计算后续行
for i in range(1, n):
for j in range(n):
if is_valid_position(i, j, dp):
for k in range(n):
if k != j and is_valid_position(i - 1, k, dp):
dp[i][j] += dp[i - 1][k]
return sum(dp[n - 1])
def is_valid_position(i, j, dp):
"""
判断 (i, j) 位置是否可以放置皇后
参数：
i: 行号
j: 列号
dp: 动态规划表格
返回：
True 表示可以放置皇后，False 表示不可以
"""
for k in range(i):
if dp[k][j] > 0:
return False
x, y = i, j
while x >= 0 and y >= 0:
if dp[x][y] > 0:
return False
x -= 1
y -= 1
x, y = i, j
while x >= 0 and y < n:
if dp[x][y] > 0:
return False
x -= 1
y += 1
return True
总结
通过探索 N 皇后 II 问题的高效解决方案，我们深入理解了深度优先搜索与剪枝优化以及动态规划这两大算法技术的巧妙运用。动态规划的引入极大地提高了算法的效率，为解决此类复杂问题提供了更佳途径。
常见问题解答
-
N 皇后 II 问题与普通 N 皇后问题有何不同？
N 皇后 II 问题专注于计算满足条件的放置方案总数，而普通 N 皇后问题关注的是找到任意一个可行的放置方案。 -
剪枝优化在 DFS 中是如何实现的？
剪枝优化通过利用问题约束条件，在 DFS 搜索过程中及早排除不可能得到解的子树，从而减少搜索空间。 -
动态规划为何更适合解决 N 皇后 II 问题？
动态规划可以逐行计算出每个位置放置皇后的方案数，避免了 DFS 中的重复搜索，从而大大提升效率。 -
代码示例中
is_valid_position函数的作用是什么？
is_valid_position函数判断一个位置是否可以放置皇后，它考虑了行、列和斜线上的冲突情况。 -
动态规划的思想在哪些其他问题中也有应用？
动态规划广泛应用于求解最优解或计数问题的场景，如最长公共子序列、背包问题等。
