借助斐波那契数列提升矩阵快速幂技巧

2024-01-20 12:38:41

斐波那契数列的线性求解

斐波那契数列是一种特殊的数列，其特点是每个数字都是前两个数字的和。斐波那契数列的第一个数字是0，第二个数字是1，然后依次是1、2、3、5、8、13、21、34等。

斐波那契数列的线性求解方式非常简单，只需要依次计算出每个数字即可。以下是用Python编写的斐波那契数列线性求解代码：

def fibonacci(n):
  """
  计算斐波那契数列的第n个数字。

  参数：
    n：要计算的数字的下标。

  返回：
    斐波那契数列的第n个数字。
  """

  if n == 0:
    return 0
  elif n == 1:
    return 1
  else:
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

利用线性代数改写斐波那契数列

斐波那契数列也可以用线性代数来表示。我们可以定义一个二阶矩阵：

A = [[1, 1], [1, 0]]

然后，斐波那契数列的第n个数字就可以表示为：

F(n) = A^n * [1, 0]

其中，A^n表示矩阵A的n次方。

求出二阶矩阵的N-2次方

为了最快求出斐波那契数列的第n个数字，我们需要求出矩阵A的N-2次方。我们可以使用矩阵快速幂算法来实现这一点。

矩阵快速幂算法是一种用于计算矩阵的快速幂的算法。它的基本思想是将矩阵的幂表示为一个二进制数，然后使用二分法来计算矩阵的幂。

以下是用Python编写的矩阵快速幂算法代码：

def matrix_power(A, n):
  """
  计算矩阵A的n次方。

  参数：
    A：要计算次方的矩阵。
    n：要计算的次方。

  返回：
    矩阵A的n次方。
  """

  if n == 0:
    return I

  elif n == 1:
    return A

  else:
    if n % 2 == 0:
      half_power = matrix_power(A, n // 2)
      return half_power @ half_power
    else:
      half_power = matrix_power(A, (n - 1) // 2)
      return A @ half_power @ half_power

其中，I表示单位矩阵。

利用矩阵快速幂计算斐波那契数列

现在，我们可以利用矩阵快速幂算法来最快求出斐波那契数列的第n个数字。以下是用Python编写的代码：

def fibonacci_fast(n):
  """
  利用矩阵快速幂算法计算斐波那契数列的第n个数字。

  参数：
    n：要计算的数字的下标。

  返回：
    斐波那契数列的第n个数字。
  """

  A = [[1, 1], [1, 0]]
  F = matrix_power(A, n - 1)
  return F[0][0]