动态规划解题：前端算法面试必刷题系列之最短路径和（附JS实现）

前端

2023-09-14 07:03:01

掌握动态规划：解决最小路径和问题

在前端算法面试中，动态规划 是一个备受关注的话题。这是一种强大的技术，可用于解决一系列复杂问题。本文将探讨如何在动态规划的帮助下解决一个经典的最小路径和问题。

问题背景

给定一个包含非负整数的网格，我们的目标是找到一条从左上角到右下角的路径，使得路径上数字的总和最小。每次移动仅能向下或向右一步。

问题分析

首先，让我们剖析一下这个问题：

起点和终点： 路径的起点是左上角，终点是右下角。
移动规则： 每一步只能向下或向右移动。
目标： 找到一条路径，使其上的数字总和最小。

动态规划解决方案

动态规划是一种自顶向下的问题求解方法。它将大问题分解成一系列较小的问题，并逐步解决这些较小问题，最终得到大问题的答案。

状态定义：

我们定义状态 dp(i, j) 表示从左上角到点 (i, j) 的最小路径和。

状态转移方程：

状态转移方程告诉我们如何计算每个状态：

dp(i, j) = min(dp(i-1, j), dp(i, j-1)) + grid[i][j]

其中：

min(dp(i-1, j), dp(i, j-1)) 表示从左上方或正上方移动到点 (i, j) 的最小路径和。
grid[i][j] 表示点 (i, j) 上的数字。

边界条件：

dp(0, 0) = grid[0][0]，因为从左上角到左上角只有一条路径，其路径和就是左上角的数字。

计算顺序：

我们从左上角开始，逐行逐列计算每个点的最小路径和。

JavaScript 代码实现

function minPathSum(grid) {
  const m = grid.length;
  const n = grid[0].length;
  const dp = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));

  dp[0][0] = grid[0][0];
  for (let i = 1; i < m; i++) {
    dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
  }
  for (let j = 1; j < n; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
  }

  for (let i = 1; i < m; i++) {
    for (let j = 1; j < n; j++) {
      dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
    }
  }

  return dp[m - 1][n - 1];
}