掌握动态规划，轻而易举找出不重复组合！

闲谈

2023-11-17 11:24:50

动态规划：解决不重复组合问题的终极指南

什么是动态规划？

想象一下你面对着一个巨大的拼图，有成千上万块。如果你一次尝试拼所有碎片，很快就会不知所措。但是，如果你把拼图分解成更小的部分，从边缘开始，逐步拼凑，最终就能完成整个拼图。

在计算机科学中，动态规划 遵循类似的原则。它将复杂的问题分解成一系列较小的子问题，逐步解决这些子问题，并记录结果以避免重复计算。通过这种方式，动态规划算法可以大幅提高效率。

找出不重复组合

我们的目标是找出给定集合中所有不重复的组合。例如，对于集合 [1, 2, 3]，不重复的组合包括：

[1]
[2]
[3]
[1, 2]
[1, 3]
[2, 3]

动态规划解决方案

第一步是定义子问题：

f(i, j) = 给定集合[1, 2, ..., i]的所有包含j个元素的不重复组合

接下来，我们解决子问题：

f(i, j) = {
    []                                                                  if j = 0
    f(i-1, j)                                                     if i < j
    [i] U f(i-1, j-1)                                        if i >= j
}

最后，我们存储结果：

dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]

其中，n是集合中的元素个数。

分步指南

初始化： dp数组中的所有值都初始化为0。
遍历： 逐行和逐列地遍历dp数组。
填充： 根据子问题定义，填充dp数组。
构建结果： 根据dp数组，构建所有不重复组合。

示例

对于集合 [1, 2, 3]，我们可以构建出如下的dp数组：

j	0	1	2	3
1	[]	[1]	[]	[]
2	[]	[1]	[2]	[1, 2]
3	[]	[1]	[2]	[1, 2, 3]

代码示例：

def find_combinations(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0 for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if i < j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + [nums[i-1]]

    return dp[n][k]