分支限界法——破解单源最短路径难题的利器

后端

2024-02-09 08:35:41

1、前置芝士

1.1 分支限界法求解目标

分支限界法是一种广泛应用于组合优化问题的智能算法，它旨在通过系统性地枚举和评估潜在解决方案，找到最优或近似最优的解。

1.2 分支限界法引言

分支限界法通常从问题的初始状态开始，将问题逐步分解成更小的问题，直到找到可行的解。在这一过程中，算法会根据某个预定的准则对子问题进行评估和比较，选择最具潜力的子问题继续探索。

1.3 分支限界法基本思想

分支限界法的基本思想在于：

问题的求解过程可以看作是一棵解空间树，树上的每个结点代表一种可能的解决方案。
从树的根结点开始，依次搜索树上的各个结点，并不断地将问题分解成更小的子问题。
在搜索过程中，使用某种评估函数对结点进行评估，并根据评估结果选择最具潜力的结点继续探索。
这一过程一直持续到达到目标状态，或者所有可能的分支都被探索完毕。

1.4 两种典型的解空间树

在分支限界法中，解空间树通常有两种典型形式：

二叉树： 这种树中，每个结点最多有两个子结点，代表着两个可能的解决方案。
搜索树： 这种树中，每个结点可以有多个子结点，代表着多个可能的解决方案。

2、分支限界法解题过程

2.1 分支限界法求解单源最短路径问题的步骤

将初始状态（即图中的起始顶点）作为树的根结点，并将其标记为已访问。
从根结点开始，依次搜索树上的各个结点。对于每个结点，计算从起始顶点到该顶点的最短路径长度。
选择最短路径长度最小的结点作为下一个要探索的结点，并将其标记为已访问。
将选定的结点的所有邻接结点加入到解空间树中，并标记它们为未访问。
重复步骤2-4，直到所有顶点都被访问过，或者找到最短路径。

2.2 分支限界法求解单源最短路径问题的Java实现

import java.util.*;

public class BranchAndBound {

    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    // 图的邻接表表示
    private Map<Integer, List<Edge>> adjList;

    // 记录从起始顶点到其他顶点的最短路径长度
    private Map<Integer, Integer> distance;

    // 记录已经访问过的顶点
    private Set<Integer> visited;

    // 记录最短路径
    private List<Edge> shortestPath;

    public BranchAndBound(Map<Integer, List<Edge>> adjList) {
        this.adjList = adjList;
        this.distance = new HashMap<>();
        this.visited = new HashSet<>();
        this.shortestPath = new ArrayList<>();
    }

    public List<Edge> findShortestPath(int start, int end) {
        // 初始化距离和访问标记
        for (int i = 1; i <= adjList.size(); i++) {
            distance.put(i, INF);
            visited.add(i);
        }
        distance.put(start, 0);

        // 主循环
        while (!visited.isEmpty()) {
            // 选择距离最小的顶点
            int u = findMinDistanceVertex();

            // 如果已经到达终点，则停止搜索
            if (u == end) {
                break;
            }

            // 访问选定的顶点
            visited.remove(u);

            // 更新与选定顶点相邻的顶点的距离
            for (Edge edge : adjList.get(u)) {
                int v = edge.getDestination();
                int weight = edge.getWeight();
                if (distance.get(u) + weight < distance.get(v)) {
                    distance.put(v, distance.get(u) + weight);
                }
            }
        }

        // 构建最短路径
        int current = end;
        while (current != start) {
            for (Edge edge : adjList.get(current)) {
                if (distance.get(current) - edge.getWeight() == distance.get(edge.getDestination())) {
                    shortestPath.add(edge);
                    current = edge.getDestination();
                    break;
                }
            }
        }

        return shortestPath;
    }

    // 找到距离最小的顶点
    private int findMinDistanceVertex() {
        int minDistance = INF;
        int minVertex = -1;
        for (int vertex : visited) {
            if (distance.get(vertex) < minDistance) {
                minDistance = distance.get(vertex);
                minVertex = vertex;
            }
        }
        return minVertex;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 构建图的邻接表
        Map<Integer, List<Edge>> adjList = new HashMap<>();
        adjList.put(1, Arrays.asList(new Edge(2, 1), new Edge(3, 4)));
        adjList.put(2, Arrays.asList(new Edge(1, 1), new Edge(3, 2), new Edge(4, 5)));
        adjList.put(3, Arrays.asList(new Edge(1, 4), new Edge(2, 2), new Edge(4, 6)));
        adjList.put(4, Arrays.asList(new Edge(1, 5), new Edge(2, 5), new Edge(3, 6)));

        // 实例化分支限界法对象
        BranchAndBound branchAndBound = new BranchAndBound(adjList);

        // 找到从顶点1到顶点4的最短路径
        List<Edge> shortestPath = branchAndBound.findShortestPath(1, 4);

        // 打印最短路径
        for (Edge edge : shortestPath) {
            System.out.println(edge.getDestination() + " ");
        }
    }

    // 边
    private static class Edge {
        private int destination;
        private int weight;

        public Edge(int destination, int weight) {
            this.destination = destination;
            this.weight = weight;
        }

        public int getDestination() {
            return destination;
        }

        public int getWeight() {
            return weight;
        }
    }
}