化繁为简！石子游戏 IX 博弈题巧用分情况讨论法

后端

2023-11-14 03:29:34

石子游戏 IX 题意解析

石子游戏 IX 的游戏规则如下：

游戏双方轮流从一堆石子里拿走 1 到 3 个石子。
谁拿走最后一颗石子谁就获胜。

现在，给定一堆石子，你的任务是确定先手玩家是否可以通过最优策略获胜。

分情况讨论博弈分析

为了解决石子游戏 IX，我们需要对游戏情况进行分情况讨论。

情形一：石子堆总数为 4 的倍数

当石子堆总数为 4 的倍数时，先手玩家可以通过以下策略必胜：

如果石子堆总数为 4k，那么先手玩家可以每次拿走 1 个石子，直到石子堆总数变为 4k-3。
如果石子堆总数为 4k+1，那么先手玩家可以每次拿走 2 个石子，直到石子堆总数变为 4k-1。
如果石子堆总数为 4k+2，那么先手玩家可以每次拿走 3 个石子，直到石子堆总数变为 4k-1。
如果石子堆总数为 4k+3，那么先手玩家可以每次拿走 1 个石子，直到石子堆总数变为 4k+2。

情形二：石子堆总数不是 4 的倍数

当石子堆总数不是 4 的倍数时，后手玩家可以通过以下策略必胜：

如果石子堆总数为 4k+1，那么后手玩家可以每次拿走 1 个石子，直到石子堆总数变为 4k。
如果石子堆总数为 4k+2，那么后手玩家可以每次拿走 2 个石子，直到石子堆总数变为 4k。
如果石子堆总数为 4k+3，那么后手玩家可以每次拿走 3 个石子，直到石子堆总数变为 4k。

动态规划求解

我们还可以使用动态规划的方法来求解石子游戏 IX。

定义状态 dp[i] 表示当石子堆总数为 i 时，先手玩家是否可以通过最优策略获胜。

状态转移方程为：

dp[i] = (dp[i-1] && dp[i-2] && dp[i-3]) || (!dp[i-4])

其中，dp[i-1]、dp[i-2] 和 dp[i-3] 分别表示当石子堆总数为 i-1、i-2 和 i-3 时，先手玩家是否可以通过最优策略获胜。

完整代码实现

def canWinNim(n):
  """
  :type n: int
  :rtype: bool
  """
  dp = [False] * (n + 1)
  dp[0] = True
  dp[1] = True
  dp[2] = True
  dp[3] = True

  for i in range(4, n + 1):
    dp[i] = (dp[i-1] and dp[i-2] and dp[i-3]) or (not dp[i-4])

  return dp[n]