别再死磕动态规划了！刷完 40 道题后，我总结了这些套路，包你看懂！
2023-09-05 03:16:55
动态规划：攻克编程高墙的制胜秘诀
初学者指南
对于许多程序员来说，动态规划一直是一道难以逾越的高墙，尤其是初学者，往往因为无法理解概念或掌握套路而望而却步。作为一名资深技术博客撰写专家，我深知这种痛苦。为了帮助你打破动态规划的壁垒，我连刷了 40 道动态规划题目，并将自己总结的套路倾囊相授，助你快速入门！
什么是动态规划？
动态规划是一种自顶向下的优化算法，适用于求解具有最优子结构和重叠子问题这两个特性的问题。具体来说，最优子结构是指问题的最优解可以从其子问题的最优解导出；重叠子问题是指问题的子问题可能会重复求解。动态规划通过记录子问题的最优解，避免重复计算，从而提高算法效率。
动态规划套路
在刷完 40 道动态规划题目后，我总结出了以下 10 个最常见的套路：
- 状态定义： 明确问题中需要记录的状态信息，这些状态通常对应于子问题或子结构。
- 状态转移方程： 建立一个状态转移方程，当前状态如何从前一个状态转移得到。
- 边界条件： 明确算法的边界条件，即当问题规模为 0 或 1 时，状态如何初始化。
- 初始化： 根据边界条件，初始化算法中需要记录的状态信息。
- 计算顺序： 确定计算状态的顺序，通常是从小问题到大问题依次计算。
- 结果获取： 确定如何从记录的状态中获取问题的最终结果。
- 空间优化： 考虑优化算法的空间复杂度，例如使用滚动数组或压缩状态。
- 时间优化： 考虑优化算法的时间复杂度，例如使用记忆化或剪枝。
- 代码实现： 根据前面总结的套路，编写出算法的代码实现。
- 调试与测试： 对算法进行调试和测试，确保其正确性和效率。
举例说明：0-1 背包问题
0-1 背包问题是一个典型的动态规划问题，问题如下：
给定一个容量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有自己的重量 wi 和价值 vi，求出可以装入背包的最大价值。每个物品只能装入背包一次。
我们可以根据上面总结的套路来解决这个问题：
1. 状态定义： dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品，背包容量为 j 时，所能装入的最大价值。
2. 状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)
3. 边界条件：
dp[0][j] = 0
dp[i][0] = 0
4. 初始化：
for (int i = 1; i <= N; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 1; j <= W; j++) {
dp[0][j] = 0;
}
5. 计算顺序：
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi);
}
}
6. 结果获取：
return dp[N][W];
7. 空间优化：
int[] dp = new int[W + 1];
...
for (int j = 1; j <= W; j++) {
dp[j] = 0;
}
...
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = W; j >= wi; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j-wi] + vi);
}
}
8. 时间优化：
// 剪枝：如果当前物品重量大于剩余背包容量，则直接跳过
if (wi > j) {
continue;
}
常见问题解答
-
动态规划适用于哪些问题？
动态规划适用于具有最优子结构和重叠子问题这两个特性的问题，例如最长公共子序列、矩阵连乘、0-1 背包问题。 -
如何判断一个问题是否可以采用动态规划解决？
仔细分析问题的结构，看看是否有最优子结构和重叠子问题。 -
动态规划的时间复杂度通常是多少？
动态规划的时间复杂度通常是 O(n^2)，其中 n 是问题的规模。 -
如何优化动态规划算法的空间复杂度？
可以使用滚动数组或压缩状态等技术来优化空间复杂度。 -
如何避免在动态规划算法中出现重复计算？
可以通过记忆化或剪枝等技术来避免重复计算。
结论
掌握动态规划的套路对于解决复杂编程问题至关重要。通过遵循这些套路，你可以快速入门动态规划，攻克编程高墙。记住，练习是关键，多刷题、多总结，你一定可以成为动态规划大师！
