一文搞定60道hard/meidum算法题 - 二分法（二）

2024-01-31 04:48:53

二分法（二）：理解最优方案隐藏在二分区间

导言

在上篇文章中，我们介绍了二分法解决最优化问题的基本原理和方法，并通过一些简单的例子说明了二分法的应用。在这篇文章中，我们将继续深入分析二分法在解决最优化问题中的应用，包括最优方案隐藏在二分区间、二分法的有效性条件等，并提供详细的实例和代码示例，帮助读者更好地理解和掌握二分法。

最优方案隐藏在二分区间

在使用二分法解决最优化问题时，我们通常需要在二分区间的左右端点之间进行比较，并选择最优的方案。这背后的原理是，最优方案通常隐藏在二分区间中。

例如，考虑以下问题：给定一个长度为 n 的数组 A，找到一个长度为 k 的子数组，使得子数组的和最大。

我们可以使用二分法来解决这个问题。首先，我们将数组 A 分成两部分，左半部分和右半部分，并分别计算这两部分的和。然后，我们将和较大的一部分作为新的数组 A，并重复这个过程，直到数组 A 的长度为 k。最后，我们将数组 A 的和作为最优解。

在这个例子中，最优方案隐藏在二分区间中，因为数组 A 的最大子数组和总是位于数组 A 的某一部分中。

二分法的有效性条件

二分法并不是万能的，它只能解决满足一定条件的最优化问题。这些条件包括：

值域满足某种特殊的单调性。
能够通过题目特性将值域分成两个区间。
能够在两个区间内快速找到最优方案。

如果最优化问题满足了这些条件，那么就可以使用二分法来解决。

实例和代码示例

为了更好地理解二分法在解决最优化问题中的应用，我们来看几个实例和代码示例。

实例 1：寻找最大子数组和

给定一个长度为 n 的数组 A，找到一个长度为 k 的子数组，使得子数组的和最大。

def max_subarray_sum(A, k):
    """
    Finds the maximum sum of a subarray of length k in A.

    Args:
    A: The input array.
    k: The length of the subarray.

    Returns:
    The maximum sum of a subarray of length k in A.
    """

    # Check if the input is valid.
    if k > len(A):
        raise ValueError("k cannot be greater than the length of A.")

    # Initialize the variables.
    left = 0
    right = len(A) - k + 1
    max_sum = float("-inf")

    # Iterate over the subarrays of length k.
    while left < right:
        # Calculate the sum of the current subarray.
        subarray_sum = sum(A[left:left + k])

        # Update the maximum sum.
        max_sum = max(max_sum, subarray_sum)

        # Move the window to the right.
        left += 1

    # Return the maximum sum.
    return max_sum

实例 2：寻找最小的数

给定一个长度为 n 的数组 A，找到一个数 x，使得对于数组 A 中的任何数 y，x <= y。

我们可以使用二分法来解决这个问题。首先，我们将数组 A 排序。然后，我们将数组 A 分成两部分，左半部分和右半部分，并比较这两部分的最小值。如果左半部分的最小值小于右半部分的最小值，那么我们将左半部分作为新的数组 A，并重复这个过程，直到数组 A 中只剩下一个元素。最后，我们将这个元素作为最小的数。

def find_smallest_number(A):
    """
    Finds the smallest number in A.

    Args:
    A: The input array.

    Returns:
    The smallest number in A.
    """

    # Check if the input is valid.
    if len(A) == 0:
        raise ValueError("A cannot be empty.")

    # Sort the array.
    A.sort()

    # Initialize the variables.
    left = 0
    right = len(A) - 1

    # Iterate over the subarrays of length 1.
    while left <= right:
        # Calculate the middle index.
        mid = (left + right) // 2

        # Check if the current number is the smallest number.
        if (mid == 0 or A[mid] < A[mid - 1]) and (mid == len(A) - 1 or A[mid] <= A[mid + 1]):
            return A[mid]

        # Move the window to the left or right.
        if mid > 0 and A[mid] > A[mid - 1]:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1

    # Return the smallest number.
    return A[left]