LeetCode 198: 打家劫舍 - 最优解法

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2023-12-09 23:09:20

LeetCode 198：打家劫舍

在寻求财富的激动人心中，窃贼策划着一次大胆的冒险，目标是一个排列成一行的神秘房屋，据传这些房屋里藏着令人垂涎的宝藏。然而，有一个障碍：一个警觉的守卫，严密监视着他们的举动。守卫规定，小偷不能连续偷窃相邻的房屋。

动态规划的艺术

为了最大限度地增加他们的战利品，小偷们求助于动态规划的精妙艺术。动态规划是一种巧妙的策略，它将复杂问题分解成更小的子问题，然后系统地解决这些子问题。在这个场景中，子问题是如何确定偷窃房屋 i 和不偷窃房屋 i 所获得的最大收益。

规划的步骤

初始化： 我们从一个空白画布开始，将收益数组 dp 初始化为零，代表偷窃房屋 0 和 1 时为零收益。
递归： 对于每个房屋 i，我们计算偷窃房屋 i（dp[i-1] + nums[i]）和不偷窃房屋 i（dp[i-2]）的收益。我们取这两个收益中的最大值作为 dp[i]。
优化： 我们不断更新 dp 数组，在前进时积累知识。通过这种渐进式的方法，我们避免了重复计算，提高了算法的效率。

Java 代码示例

public class HouseRobber {

    public int rob(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        // 初始化收益数组
        int[] dp = new int[nums.length + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = nums[0];

        // 计算每间房屋的最佳收益
        for (int i = 2; i <= nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);
        }

        // 返回最大收益
        return dp[nums.length];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： O(n)，其中 n 是房屋的数量。我们遍历房屋数组一次，对于每个房屋执行常数时间计算。
空间复杂度： O(n)。我们使用了一个大小为 n+1 的 dp 数组来存储子问题的最优解。

示例

假设小偷们潜入了一排包含以下金额的房屋：

[1, 2, 3, 1]

使用动态规划算法，我们可以计算出小偷们能获得的最大收益：

dp[0] = 0
dp[1] = 1
dp[2] = max(dp[1], dp[0] + nums[1]) = max(1, 0 + 2) = 2
dp[3] = max(dp[2], dp[1] + nums[2]) = max(2, 1 + 3) = 4
dp[4] = max(dp[3], dp[2] + nums[3]) = max(4, 2 + 1) = 4