二叉搜索树验证之寻回丢失的智商

2023-12-31 20:15:10

首先回顾一下，二叉搜索树的定义：

它的每一个节点的左子树只包含比它小的元素
每一个节点的右子树只包含比它大的元素
它的左、右子树也分别为二叉搜索树

相信大家一看就会了，但是忘记的人很多，其实这也很正常。算法和数学需要非常频繁的练习。我们接触的二叉搜索树的题目非常少，再加上这道算法题的运行案例比较复杂，稍不注意就错了，这也是这道题的出错率如此之高的原因。

尝试一：二叉树中序遍历

def isValidBST(root):
  """
  :type root: TreeNode
  :rtype: bool
  """
  def inorder(root):
    if not root:
      return []
    return inorder(root.left) + [root.val] + inorder(root.right)

  inorder_list = inorder(root)
  for i in range(1, len(inorder_list)):
    if inorder_list[i] <= inorder_list[i - 1]:
      return False
  return True

这个算法很简单，就是将二叉搜索树中序遍历后，看是否形成一个升序序列。这是验证二叉搜索树的最简单的方法之一。

然而，这个算法有一个问题，就是它需要先将整个二叉搜索树中序遍历一遍，然后才能判断是否是一个升序序列。这个算法的时间复杂度是O(n)，其中n是二叉搜索树的结点个数。对于非常大的二叉搜索树，这个算法可能会非常慢。

尝试二：二叉搜索树的递归算法

def isValidBST(root):
  """
  :type root: TreeNode
  :rtype: bool
  """
  def is_valid_bst(node, low, high):
    if not node:
      return True
    if node.val <= low or node.val >= high:
      return False
    return is_valid_bst(node.left, low, node.val) and is_valid_bst(node.right, node.val, high)

  return is_valid_bst(root, float('-inf'), float('inf'))

这个算法采用了递归的思想。对于每个结点，我们首先判断它的值是否在给定范围内。如果不在给定范围内，那么该二叉搜索树就不是有效的。否则，我们继续递归地判断它的左右子树是否都是有效的。

这个算法的时间复杂度是O(n)，其中n是二叉搜索树的结点个数。这个算法比第一个算法要快，因为它不需要先将整个二叉搜索树中序遍历一遍。

常见错误

在验证二叉搜索树时，最常见的错误之一是忘记考虑结点的左子树和右子树。例如，以下算法是错误的：

def isValidBST(root):
  """
  :type root: TreeNode
  :rtype: bool
  """
  if not root:
    return True
  if root.val <= root.left.val or root.val >= root.right.val:
    return False
  return True

这个算法只考虑了结点的值是否在它的左右子树的范围内，但是它没有考虑结点的左右子树是否都是有效的二叉搜索树。

另一个常见的错误是忘记考虑二叉搜索树的根结点的值。例如，以下算法是错误的：

def isValidBST(root):
  """
  :type root: TreeNode
  :rtype: bool
  """
  if not root:
    return True
  if root.val <= root.left.val:
    return False
  if root.val >= root.right.val:
    return False
  return isValidBST(root.left) and isValidBST(root.right)