P3387 题解：Tarjan 强连通分量缩点模板详解

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2024-01-10 22:09:44

掌握 Tarjan 算法：揭秘强连通分量缩点的奥秘

在图论的广袤天地中，强连通分量缩点算法扮演着至关重要的角色。它能将庞大复杂的图结构化简，揭示图中节点之间的内在联系。在这篇文章中，我们将深入探究 Tarjan 算法，从原理到实现，再到实际应用，带你领略它的神奇魅力。

什么是强连通分量？

设想一张错综复杂的网络，其中节点代表城市，边代表道路。如果从任意城市出发，都能通过道路到达其他任何城市，那么这些城市就构成一个强连通分量。它就像一个封闭的圈子，成员之间可以自由往来。

Tarjan 算法的原理

Tarjan 算法是一种基于深度优先搜索（DFS）的高效算法，能够识别图中的强连通分量。它的工作原理如下：

初始化： 首先，为每个节点分配两个值：dfn（深度优先搜索序数）和low（最低深度优先搜索序数）。
DFS： 从一个未访问的节点开始 DFS，并将其压入栈中。
更新 low： 在访问节点及其邻接节点时，不断更新low值，确保它始终是最小深度优先搜索序数。
缩点： 当一个节点的dfn和low相等时，表明它是一个强连通分量的根节点。将该分量中的所有节点弹出栈，缩合成一个新的节点。
重复： 继续 DFS，直到所有节点都得到处理。

Tarjan 算法实现

为了加深理解，我们用 C++ 代码实现 Tarjan 算法：

const int maxn = 1e5 + 5;
int n, m;
int dfn[maxn], low[maxn];
int st[maxn], top;
bool inStack[maxn];
int scc[maxn], scc_cnt;

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++idx;
    st[++top] = u;
    inStack[u] = true;
    for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
        int v = edge[i].to;
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        } else if (inStack[v]) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (dfn[u] == low[u]) {
        scc[++scc_cnt] = 0;
        while (st[top] != u) {
            scc[scc_cnt] += w[st[top]];
            inStack[st[top]] = false;
            st[top--] = 0;
        }
        scc[scc_cnt] += w[st[top]];
        inStack[st[top--]] = false;
    }
}

应用示例：P3387 题解

现在，让我们运用 Tarjan 算法来解决一个实际问题——P3387。该题要求在一个有向无环图中找出从任意节点出发到终点的最大权值路径和。

思路：

使用 Tarjan 算法缩点，将有向无环图转化为强连通分量图。
求出每个强连通分量中的最大权值和。
答案就是所有强连通分量最大权值和之和。

代码：

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        addEdge(u, v, w);
    }
    tarjan(1);
    for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) {
        ans = max(ans, scc[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}