MCMC去探秘复杂的后验分布，揭开贝叶斯推断的未知世界

2023-09-02 02:19:04

MCMC：揭开复杂贝叶斯后验分布的神秘面纱

简介

贝叶斯统计是一种强大的方法，它使我们能够通过已知信息更新我们的信念。然而，在许多情况下，贝叶斯后验分布的复杂性会让我们望而生畏。MCMC（蒙特卡洛马尔可夫链）是一种算法，能够帮助我们深入探索这些难以捉摸的后验分布。

MCMC的本质：马尔可夫链的魔力

MCMC的秘密武器是马尔可夫链，一种随机过程，其下一个状态仅由其当前状态决定。MCMC算法通过构建一个马尔可夫链，使其平稳分布与后验分布相一致，从而间接模拟后验分布。

代码示例：构建马尔可夫链

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义马尔可夫链的转移概率矩阵
transition_matrix = np.array([[0.8, 0.2],
                              [0.4, 0.6]])

# 初始状态
current_state = 0

# 模拟马尔可夫链
states = [current_state]
for i in range(100):
    current_state = np.random.choice([0, 1], p=transition_matrix[current_state])
    states.append(current_state)

# 绘制马尔可夫链
plt.plot(states)
plt.xlabel("步骤")
plt.ylabel("状态")
plt.show()

MCMC与变分推断：相辅相成，破解贝叶斯难题

MCMC和变分推断都是贝叶斯推理中的有力工具，但各有千秋。MCMC通过模拟后验分布进行推断，而变分推断则通过近似后验分布进行推断。

MCMC的优势在于其准确性，但计算量大。变分推断的优点在于其计算量小，但结果可能不那么精确。

在实践中，MCMC和变分推断通常结合使用，以发挥各自的优势，弥补各自的不足。

代码示例：MCMC与变分推断的结合

import numpy as np
import pymc3 as pm

# 定义贝叶斯模型
model = pm.Model()
with model:
    # 定义先验分布
    alpha = pm.Normal('alpha', mu=0, sd=1)
    beta = pm.Normal('beta', mu=0, sd=1)

    # 定义似然函数
    y = pm.Normal('y', mu=alpha + beta * x, sd=sigma)

# 采样后验分布
trace = pm.sample(1000)

# 提取采样结果
alpha_samples = trace['alpha']
beta_samples = trace['beta']