征服动规难题: 独辟蹊径, 攻克不同路径(Unique Paths)的解题奥秘

2023-02-05 07:33:57

不同路径：用动规五步曲征服算法难关

一、探索难题奥秘：剖析题中精髓

在算法进阶的道路上，"不同路径(Unique Paths)"这道难题犹如一道横亘在你面前的高墙，让你踌躇不前。然而，掌握了动规五步曲，你将轻而易举地攻破这道难关，开辟一条属于自己的算法之路。

这道题的精髓在于理解其本质，建立正确的数学模型。题目要求你计算在一个网格中从左上角走到右下角的不同路径数量。我们可以抽象出一个二维表格，其中每个格子代表一个节点，而从左上角到右下角的不同路径数量就等于从左上角节点到右下角节点的不同路径数量。

二、动规五步曲：指引算法迷津

确定子问题：
- 定义子问题：从左上角节点到当前节点的不同路径数量。
- 参数：当前节点的位置(i, j)。
递归关系：
- 从左上角到当前节点的不同路径数量等于从左上角到当前节点的上一个节点的不同路径数量加上从左上角到当前节点的左边节点的不同路径数量。
边界条件：
- 当i == 0或j == 0时，从左上角到当前节点的不同路径数量为1。
备忘录：
- 存储已经计算过的子问题的解，避免重复计算。
最终结果：
- 从左上角到右下角的不同路径数量就是备忘录中从左上角到右下角节点的不同路径数量。

三、代码实战：用Python解开谜题

def unique_paths(m, n):
    """
    :type m: int
    :type n: int
    :rtype: int
    """
    # 初始化一个二维数组来存储从(0, 0)到(i, j)的不同路径数量
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]

    # 设置从(0, 0)到(0, 0)的不同路径数量为1
    dp[0][0] = 1

    # 迭代二维数组，计算每个单元格的不同路径数量
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            # 如果在第一行或第一列，不同路径数量等于左上方或上方的不同路径数量
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 1
            # 否则，不同路径数量等于左边和上方的不同路径数量之和
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

    # 返回从(0, 0)到(m-1, n-1)的不同路径数量
    return dp[m-1][n-1]