洞穿 Biweekly Contest 71 第三题，烹调时间成本大优化！

动态规划（DP）是一种强大的算法，它擅长解决最优化问题。它的原理是把问题分解成更小的子问题，然后逐层解决子问题，最终找到全局最优解。

在我们的这个场景中，我们可以把问题分解成如下子问题：

• 当只剩一个食材时，我们只需要将它单独分组，烹调时间就是它的本身。
• 当有多个食材时，我们可以选择将它们分成若干组，也可以选择将它们合并成一组。我们需要比较这两种选择，选出烹调时间最小的那个。

我们可以用一个二维数组 dp 来记录子问题的解。dp[i][j] 表示前 i 个食材分成 j 组的最小烹调时间。

我们还可以用一个一维数组 sum 来记录前 i 个食材的总烹调时间。sum[i] 表示前 i 个食材的总烹调时间。

现在，我们可以用如下的公式来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], sum[i] - dp[i - 1][j - 1])

这个公式的含义是：前 i 个食材分成 j 组的最小烹调时间，要么等于前 i - 1 个食材分成 j 组的最小烹调时间，要么等于前 i 个食材的总烹调时间减去前 i - 1 个食材分成 j - 1 组的最小烹调时间。

我们只需要把这个公式逐个应用到 dp 数组上，就可以求出 dp[n][k] 的值，其中 n 是食材的数量，k 是分组的数量。

在这个问题的变种中，我们可以选择将食材分成若干组，也可以选择将它们合并成一组。我们需要比较这两种选择，选出烹调时间最小的那个。

我们可以用如下的公式来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + arr[i])

这个公式的含义是：前 i 个食材分成 j 组的最小烹调时间，要么等于前 i - 1 个食材分成 j 组的最小烹调时间，要么等于前 i - 1 个食材分成 j - 1 组的最小烹调时间加上第 i 个食材的烹调时间。

同样，我们只需要把这个公式逐个应用到 dp 数组上，就可以求出 dp[n][k] 的值，其中 n 是食材的数量，k 是分组的数量。

让我们来分析一下时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度：O(nk)。我们一共需要计算 n * k 个子问题，每个子问题的计算时间为 O(1)。因此，总的时间复杂度为 O(nk)。

空间复杂度：O(nk)。我们需要一个 dp 数组来记录子问题的解，还需要一个 sum 数组来记录前 i 个食材的总烹调时间。因此，总的空间复杂度为 O(nk)。

让我们来看看一些妙趣横生的案例。

案例 1：

arr = [3, 2, 1, 4, 2]
target = 6

在这个案例中，我们可以将食材分成两组：

[3, 2, 1]
[4, 2]

总的烹调时间为 9。

案例 2：

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
target = 5

在这个案例中，我们可以将食材分成三组：

[1, 2]
[3]
[4, 5]

总的烹调时间为 15。

我希望这个解释对你有帮助。如果你还有任何问题，请随时告诉我。