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动态规划专题之 01. 线性 DP：详解经典例题，轻松理解！

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动态规划：分解复杂问题，逐个击破

在计算机科学浩瀚的世界中，动态规划是一颗璀璨的明珠，它以其独到的算法设计技术在解决复杂问题时大显身手。它将问题分解成一系列较小的子问题，然后采用递推的方式逐步求解，最终得到问题的答案。如果你想要解决与序列或子序列相关的棘手问题，动态规划就是你的法宝。

线性 DP：从基础开始

线性动态规划是动态规划的基础，它专注于处理序列中的每一个元素。我们根据当前元素和之前元素的信息来更新状态，通过这种递推的方式，可以在线性时间复杂度内求解问题。

子数组最大和

现在，让我们尝试用线性 DP 解决一个经典问题——子数组最大和。假设你有一个整数序列，你的任务是找到其中和最大的连续子数组。如何快速有效地找到这个子数组呢？

线性 DP 给出了一个优雅的解决方案。我们定义 f[i] 表示以第 i 个元素为结尾的子数组的最大和。然后，我们使用递推关系来计算 f[i]：

f[i] = max(f[i - 1] + a[i], a[i])

其中，a[i] 是序列中第 i 个元素。这个方程的含义很简单：f[i] 要么是 f[i - 1] 和 a[i] 的和，要么是 a[i] 本身，以两者中较大的值为准。

通过遍历序列并逐步计算 f[i]，我们最终可以得到序列中和最大的连续子数组。

不相邻取数

另一个经典的线性 DP 问题是不相邻取数。这次，我们有一个正整数序列，需要找出取任意多个不相邻元素的和最大值。

为了解决这个问题，我们定义 dp[i][j] 表示考虑序列中前 i 个元素，且最后一个取出的元素在第 j 个位置时的最大和。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + a[j])

这个方程表示，dp[i][j] 要么是不取第 i 个元素，继续考虑前 i - 1 个元素（dp[i - 1][j]），要么是取第 i 个元素，并将其加入前 i - 1 个元素中最后一个取出的元素之后的和（dp[i - 1][j - 1] + a[j]）。

通过遍历序列并逐步计算 dp[i][j]，我们最终可以得到取任意多个不相邻元素的和最大值。

nico 和 niconiconi 的舞蹈

现在，让我们来看看一个略微复杂一点的线性 DP 问题，它来自一个关于 nico 和 niconiconi 的著名舞蹈。

在这个问题中，我们有一个分数序列，代表 nico 和 niconiconi 跳舞时的每个舞步的分数。他们的目标是同时开始和结束舞蹈，并获得最高的总分。如何找到他们能获得的最高总分？

我们定义 f[i][j] 表示 nico 从第 i 个舞步开始，niconiconi 从第 j 个舞步开始，两人获得的总分数最大值。

f[i][j] = max(f[i + 1][j + 1] + a[i] + a[j], f[i + 1][j + 2] + a[i])

这个方程表示，nico 要么和 niconiconi 同时跳下一次舞步（f[i + 1][j + 1] + a[i] + a[j]），要么跳过下一个舞步（f[i + 1][j + 2] + a[i]）。

通过遍历序列并逐步计算 f[i][j]，我们最终可以得到 nico 和 niconiconi 同时开始和结束舞蹈时能获得的最高总分。

动态规划的应用

动态规划在计算机科学中有着广泛的应用，包括：

  • 最优路径查找： Dijkstra 算法、Floyd-Warshall 算法
  • 背包问题： 0-1 背包问题、多重背包问题
  • 博弈论： Minimax 算法、Alpha-Beta 剪枝
  • 组合优化： 动态规划算法是解决组合优化问题的常见方法

常见问题解答

  1. 动态规划和递归有什么区别？

动态规划和递归都是解决问题的技术，但它们有不同的方法。递归通过不断调用自己来分解问题，而动态规划通过逐步建立子问题的解决方案来解决问题。

  1. 为什么动态规划适用于序列或子序列相关的问题？

动态规划适用于序列或子序列相关的问题，因为这些问题可以通过分解成较小的重叠子问题来解决。通过记录子问题的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而提高了效率。

  1. 线性 DP 与二次 DP 有什么区别？

线性 DP 针对的是时间复杂度为 O(N) 的问题，其中 N 是输入序列的长度。而二次 DP 针对的是时间复杂度为 O(N^2) 的问题。

  1. 动态规划最具挑战性的方面是什么？

动态规划最具挑战性的方面之一是设计状态和状态转移方程。这些选择决定了算法的效率和正确性。

  1. 学习动态规划的最佳方法是什么？

学习动态规划的最佳方法是通过练习。尝试解决各种问题，并尝试设计自己的动态规划算法。此外，阅读经典书籍或在线资源也有助于提升你的理解。

结论

动态规划是一个强大的算法设计技术，它可以有效解决各种复杂问题。通过将问题分解成一系列较小的子问题并采用递推的方式求解，动态规划可以显著提高效率。通过深入理解线性 DP 的基础知识，你将为解决更复杂的动态规划问题奠定坚实的基础。