一探剑指 Offer 10-I.斐波那契数列，技术揭秘！

2023-10-06 04:38:28

一、斐波那契的迷人数字世界

斐波那契数列，一个在数学和自然界中屡屡出现的迷人数字序列。自13世纪意大利数学家斐波那契首次提出以来，便不断吸引着人们的探索和研究。如今，它已被广泛应用于计算机科学、金融、生物学等诸多领域。

在这个剑指 Offer 10-I 问题中，我们需要解决的是这样一个经典问题：给定一个整数 n，求出斐波那契数列的第 n 个数字。斐波那契数列是一个特殊的数字序列，其中每个数字都是前两个数字的和。它以0和1开始，接下来每个数字都是前两个数字的和，即：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

二、巧解斐波那契数列，算法与技巧齐飞

朴素递归实现：

int fib(int n) {
  if (n == 0 || n == 1) {
    return n;
  } else {
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
  }
}

记忆化递归实现：

int fib(int n) {
  int[] memo = new int[n + 1];
  return fib(n, memo);
}

int fib(int n, int[] memo) {
  if (n == 0 || n == 1) {
    return n;
  } else if (memo[n] != 0) {
    return memo[n];
  } else {
    memo[n] = fib(n - 1, memo) + fib(n - 2, memo);
    return memo[n];
  }
}

动态规划实现：

int fib(int n) {
  int[] dp = new int[n + 1];
  dp[0] = 0;
  dp[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[n];
}

数学公式求解：

斐波那契数列还存在一个著名的数学公式：

F(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}

其中：

\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}

利用这个公式，我们可以通过快速幂算法直接计算出斐波那契数列的第 n 个数字，时间复杂度为 O(logn)。

三、实战演练，运筹帷幄解题无忧

对于剑指 Offer 10-I 问题，我们可以使用上述任意一种算法来解决。这里，我们以动态规划算法为例，详细分析其解题思路：

初始化：

首先，我们创建一个数组 dp 来存储斐波那契数列的前面几个数字。我们将 dp[0] 初始化为 0，dp[1] 初始化为 1，因为斐波那契数列的第一个数字是 0，第二个数字是 1。
迭代计算：

接下来，我们使用一个循环来计算斐波那契数列的其余数字。对于每个数字 n，我们计算 dp[n] 的值。dp[n] 的值等于 dp[n-1] 和 dp[n-2] 的和。
返回结果：

最后，我们返回 dp[n] 的值作为斐波那契数列的第 n 个数字。