高等数学：手撕牛顿莱布尼茨公式

各位数学爱好者们，欢迎来到我们的高等数学专题的第 13 篇文章。今天，我们将踏上一个激动人心的旅程，探索如何计算定积分。

在前面的文章中，我们已经对定积分的概念和一些基本性质进行了深入的了解。现在，是时候让我们动手尝试一下定积分的计算了。

牛顿莱布尼茨公式：定积分的基石

说到定积分的计算，就不得不提到牛顿莱布尼茨公式。这个公式将积分与求导联系在一起，为我们提供了一种计算定积分的强大工具。

牛顿莱布尼茨公式指出：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则定积分 ∫[a, b] f(x) dx 可以表示为：

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

手撕牛顿莱布尼茨公式：一步一步的推导

理解牛顿莱布尼茨公式的第一步是掌握它的推导过程。让我们一步一步地拆解这个公式：

1. 积分的几何意义： 设 f(x) ≥ 0，则定积分 ∫[a, b] f(x) dx 表示曲线 y = f(x) 和 x 轴之间、x = a 到 x = b 之间的面积。
2. 微分的几何意义： 导数 f'(x) 表示曲线 y = f(x) 在点 x 处的斜率。
3. 中值定理的应用： 中值定理指出，在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 在该区间内至少有一个点 c，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
4. 将导数和积分联系起来： 根据中值定理，对于任意的 x ∈ [a, b]，存在一个 c ∈ [a, x]，使得 f'(c) = (f(x) - f(a)) / (x - a)。将这个等式中的 x 积分，得到 ∫[a, x] f'(c) dc = f(x) - f(a)。

通过对上述步骤的巧妙组合，我们最终得到牛顿莱布尼茨公式：

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

其中，F(x) = ∫f(x) dx 是 f(x) 的一个原函数。

利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分

理解了牛顿莱布尼茨公式的推导过程后，我们就可以利用它来计算定积分了。以下是一些计算定积分的步骤：

1. 找到 f(x) 的一个原函数 F(x)。
2. 计算 F(b) 和 F(a)。
3. 将 F(b) 和 F(a) 代入牛顿莱布尼茨公式，得到定积分的值。

例如，让我们计算定积分 ∫[0, 1] x^2 dx。

1. x^2 的一个原函数是 (1/3)x^3。
2. F(1) = (1/3) * 1^3 = 1/3，F(0) = (1/3) * 0^3 = 0。
3. ∫[0, 1] x^2 dx = F(1) - F(0) = 1/3 - 0 = 1/3。

通过利用牛顿莱布尼茨公式，我们能够轻松快捷地计算定积分。