巧妙布局，运筹帷幄：将x减到0的最优解

2023-10-12 18:18:26

前情提要：定义问题

在正式步入解决方案之前，让我们先来理清问题要义。给你一个整数数组nums和一个整数x，你的目标是将数组nums中的所有元素减至0。每一次操作，你可以选择移除数组nums最左边的元素或最右边的元素。请你找到将数组nums中的所有元素减至0的最小操作数。

动态规划：逐步逼近最优解

为了解决这个问题，我们引入动态规划的思想，将大问题逐步拆解为若干子问题，并逐个求解，最终汇总得到全局最优解。具体而言，我们将构建一个二维表格dp，其中dp[i][j]表示从数组nums的第i个元素到第j个元素，将所有元素减至0的最小操作数。

状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1)

初始化：

dp[i][i] = 0

计算顺序：

for (int i = nums.size() - 2; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < nums.size(); j++) {
        dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1)
    }
}

丰满细节：剖析示例

为了使理论更加丰满，我们借助一个示例来详细说明解决方案的具体运作过程。假设给你一个整数数组nums = [1, 1, 1, 2, 1]和整数x = 3，我们需要计算将数组nums中的所有元素减至0的最小操作数。

首先，我们构建一个二维表格dp，其中dp[i][j]表示从数组nums的第i个元素到第j个元素，将所有元素减至0的最小操作数。

dp = [[0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0]]

然后，我们按照状态转移方程和计算顺序来逐个计算dp[i][j]的值。

dp[4][4] = 0
dp[3][4] = dp[4][4] + 1 = 1
dp[2][4] = dp[3][4] + 1 = 2
dp[1][4] = dp[2][4] + 1 = 3
dp[0][4] = dp[1][4] + 1 = 4

dp[3][3] = 0
dp[2][3] = dp[3][3] + 1 = 1
dp[1][3] = dp[2][3] + 1 = 2
dp[0][3] = dp[1][3] + 1 = 3

dp[2][2] = 0
dp[1][2] = dp[2][2] + 1 = 1
dp[0][2] = dp[1][2] + 1 = 2

dp[1][1] = 0
dp[0][1] = dp[1][1] + 1 = 1

dp[0][0] = 0