机器学习数学基础六：核函数变换与非线性分类探索

2024-01-17 06:26:45

核函数是机器学习中的关键概念，它赋予了线性模型解决非线性问题的强大能力。在本篇博文中，我们将深入探索核函数变换及其在非线性分类中的应用。

核函数的目的

在机器学习中，我们经常遇到非线性问题，线性模型无法有效处理。核函数为我们提供了一种将非线性数据映射到高维特征空间的方法，使得线性模型可以在这个新的特征空间中处理非线性问题。

线性核函数

线性核函数是最简单的核函数，它直接计算两个数据点的点积：

K(x, y) = x^T y

线性核函数适用于数据本身线性可分的情况，即数据点在原始特征空间中可以由一条直线分开。

多项式核函数

多项式核函数将数据点映射到一个更高维的多项式特征空间中，然后计算这些特征的点积：

K(x, y) = (x^T y + c)^d

其中，c是一个常数，d是多项式的次数。多项式核函数可以处理更复杂非线性的数据，但是随着d的增大，计算成本也会上升。

高斯核函数

高斯核函数将数据点映射到一个高斯分布中，然后计算两个分布的相似度：

K(x, y) = exp(-||x - y||^2 / (2σ^2))

其中，σ是高斯分布的标准差。高斯核函数适用于数据分布未知或非常复杂的情况，它是一种非参数核函数，不需要指定特征空间的维度。

参数的影响：

核函数的参数对分类效果有很大的影响。例如，多项式核函数的次数d控制着映射到特征空间的维度，而高斯核函数的标准差σ控制着分布的宽度。

例子：

考虑一个二分类问题，数据点分布在一个非线性的圈形中。使用线性核函数无法将这些数据点分开，而使用高斯核函数可以将数据点映射到一个高维特征空间，然后使用线性模型进行分类：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 生成数据
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(200, 2)
y = np.where(np.linalg.norm(X, axis=1) < 1, 1, -1)

# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)

# 使用高斯核函数的SVM
clf = SVC(kernel='rbf', gamma=1.0)
clf.fit(X, y)

# 绘制决策边界
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max, 200), np.linspace(x2_min, x2_max, 200))
Z = clf.predict(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()])
Z = Z.reshape(xx1.shape)

# 绘制数据点和决策边界
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=50, cmap='RdYlBu')
plt.contour(xx1, xx2, Z, levels=[-1, 0, 1], linewidths=2, colors='black')
plt.show()