机器臂运动学：UR3正、逆解的C++实现

在机器人学中，运动学是研究机器臂运动而不考虑其动力学或控制方面。其中，正逆解是运动学中的两个核心问题：

• 正解（Forward Kinematics）： 给定机器人关节角度，计算末端执行器相对于基座的位姿。
• 逆解（Inverse Kinematics）： 给定末端执行器相对于基座的位姿，计算实现该位姿所需的关节角度。

本文将重点介绍UR3机械臂的正逆解算法，并提供使用C++语言的完整实现。

正解算法

UR3机械臂是一个六自由度串联机器人，其正解算法可以表示为：

T = T_0_1 * T_1_2 * T_2_3 * T_3_4 * T_4_5 * T_5_6 * T_6_ee

其中：

• T_i_j 表示从第i个坐标系变换到第j个坐标系的变换矩阵
• T_6_ee 表示末端执行器相对于第六个坐标系的变换矩阵

每个变换矩阵可以通过以下公式计算：

T_i_j = [cos(θ_i) -sin(θ_i)  0   a_i*cos(θ_i)
         sin(θ_i)  cos(θ_i)  0   a_i*sin(θ_i)
         0         0         1   d_i
         0         0         0   1]

其中：

• θ_i 是第i个关节的角度
• a_i 是第i个连杆的长度
• d_i 是第i个连杆的偏移量

C++实现

以下是UR3机械臂正解算法的C++实现：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const double a1 = 0.1273;
const double a2 = -0.061;
const double a3 = 0.2297;
const double a4 = 0;
const double a5 = 0;
const double a6 = 0;

const double d1 = 0.24335;
const double d2 = 0;
const double d3 = 0;
const double d4 = 0.1105;
const double d5 = 0.1225;
const double d6 = 0;

void forward(const double* q, double* T) {
  double s1 = sin(*q), c1 = cos(*q); q++;
  double s2 = sin(*q), c2 = cos(*q); q++;
  double s3 = sin(*q), c3 = cos(*q); q++;
  double s4 = sin(*q), c4 = cos(*q); q++;
  double s5 = sin(*q), c5 = cos(*q); q++;
  double s6 = sin(*q), c6 = cos(*q);
  
  T[0] = c1*c2*c3*c4*c5*c6 - c1*c2*c3*s4*s5*c6 + c1*c2*s3*s4*c5*c6 + c1*c2*s3*s4*s5*s6 + s1*s2*c3*c4*c5*c6 - s1*s2*c3*s4*s5*c6 + s1*s2*s3*s4*c5*c6 + s1*s2*s3*s4*s5*s6;
  T[1] = c1*c2*c3*c4*c5*s6 - c1*c2*c3*s4*s5*s6 + c1*c2*s3*s4*c5*s6 + c1*c2*s3*s4*s5*c6 + s1*s2*c3*c4*c5*s6 - s1*s2*c3*s4*s5*s6 + s1*s2*s3*s4*c5*s6 + s1*s2*s3*s4*s5*c6;
  T[2] = c1*c2*c3*c4*s5 - c1*c2*c3*s4*c5 + c1*c2*s3*s4*s5 + s1*s2*c3*c4*s5 - s1*s2*c3*s4*c5 + s1*s2*s3*s4*s5;
  T[3] = c1*c2*s3*c4*c5*c6 - c1*c2*s3*s4*s5*c6 + c1*s2*c3*c4*c5*c6 - c1*s2*c3*s4*s5*c6 + s1*c2*s3*c4*c5*c6 - s1*c2*s3*s4*s5*c6 + s1*s2*c3*c4*c5*c6 - s1*s2*c3*s4*s5*c6;
  T[4] = c1*c2*s3*c4*c5*s6 - c1*c2*s3*s4*s5*s6 + c1*s2*c3*c4*c5*s6 - c1*s2*c3*s4*s5*s6 + s1*c2*s3*c4*c5*s6 - s1*c2*s3*s4*s5*s6 + s1*s2*c3*c4*c5*s6 - s1*s2*c3*s4*s5*s6;
  T[5] = c1*c2*s3*c4*s5 - c1*c2*s3*s4*c5 - c1*s2*c3*c4*s5 + c1*s2*c3*s4*c5 + s1*c2*s3*c4*s5 - s1*c2*s3*s4*c5 + s1*s2*c3*c4*s5 - s1*s2*c3*s4*c5;
  T[6] = -c1*s2*c3*c4*c5*c6 - c1*s2*c3*s4*s5*c6 - s1*c2*c3*c4*c5*c6 - s1*c2*c3*s4*s5*c6 + c1*s2*s3*s4*c5*c6 + c1*s2*s3*s4*s5*s6 + s1*c2*s3*s4*c5*c6 + s1*c2*s3*s4*s5*s6;
  T[7] = -c1*s2*c3*c4*c5*s6 - c1*s2*c3*s4*s5*s6 - s1*c2*c3*c4*c5*s6 - s1*c2*c3*s4*s5*s6 + c1*s2*s3*s4*c5*s6 + c1*s2*s3*s4*s5*c6 + s1*c2*s3*s4*c5*s6 + s1*c2*s3*s4*s5*c6;
  T[8] = c1*s2*c3*c4*s5 - c1*s2*c3*s4*c5 - s1*c2*c3*c4*s5 - s1*c2*c3*s4*c5 + c1*s2*s3*s4*s5 + s1*c2*s3*s4*s5;
  T[9] = a1*c1*c2 + a2*c1*c2*c3 + a