算法之美：探寻LeetCode 50 Pow(x, n)题的魅力

2023-11-11 10:13:18

LeetCode-50：Pow(x, n)

递归的力量

计算x的n次幂，自然而然地想到采用递归的方式，这也是解决该问题最直观的方法。递归的思路很简单：若n为奇数，则x的n次幂等于x的n-1次幂乘以x；若n为偶数，则x的n次幂等于x的n/2次幂的平方。递归的终止条件为n等于0，此时x的n次幂等于1。

    public double myPow(double x, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1.0;
        }
        if (n < 0) {
            return 1.0 / myPow(x, -n);
        }
        if (n % 2 == 1) {
            return x * myPow(x, n - 1);
        }
        return myPow(x * x, n / 2);
    }

这种递归方法虽然简单易懂，但是存在一个致命的问题：时间复杂度太高。因为对于每个n，都需要计算x的n-1次幂，n-2次幂，依次类推，直到n为0。这样计算的复杂度是O(n)，对于非常大的n，这种方法会非常耗时。

快速幂算法的登场

为了解决递归方法的时间复杂度过高的问题，我们引入快速幂算法。快速幂算法的核心思想是减少计算的次数，通过将n分解成二进制的形式，只计算必要的部分。具体来说，我们将n表示成二进制形式：

n = b_k * 2^k + b_{k-1} * 2^{k-1} + ... + b_1 * 2^1 + b_0 * 2^0

其中，b_k、b_{k-1}、...、b_1、b_0是0或1。然后，我们可以根据以下公式计算x的n次幂：

x^n = x^(b_k * 2^k + b_{k-1} * 2^{k-1} + ... + b_1 * 2^1 + b_0 * 2^0)
    = x^(b_k * 2^k) * x^(b_{k-1} * 2^{k-1}) * ... * x^(b_1 * 2^1) * x^(b_0 * 2^0)

我们发现，x^n可以表示为x的若干次幂的乘积，而这些次幂都是2的整数次幂。这样，我们就可以通过计算x的2的整数次幂，然后相乘，得到x^n的值。快速幂算法的时间复杂度是O(logn)，大大降低了计算的次数。

    public double myPow(double x, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1.0;
        }
        if (n < 0) {
            return 1.0 / myPow(x, -n);
        }
        double result = 1.0;
        while (n > 0) {
            if (n % 2 == 1) {
                result *= x;
            }
            x *= x;
            n /= 2;
        }
        return result;
    }