从上往下技巧性地行走，寻觅下降路径的最小和

2023-09-19 19:12:32

导语

在信息学竞赛、企业算法面试以及人工智能领域，动态规划是一种强大的算法范式，用于解决具有重叠子问题的复杂优化问题。在这些问题中，动态规划将问题分解成更小的子问题，并通过逐步构建子问题的解决方案来解决整个问题。今天，我们将探索一个有趣的动态规划问题：LeetCode 931. 下降路径最小和。

问题背景

LeetCode 931. 下降路径最小和给定一个 n x n 的方形整数矩阵，您需要从矩阵的左上角出发，每一步只能向下或者向右移动，最终到达矩阵的右下角。您希望找到从左上角到右下角的下降路径中，所有元素的总和最小。

解决思路

解决这个问题的思路是基于动态规划的思想。我们可以构建一个备忘录表，其中包含从左上角到每个矩阵单元的最小路径总和。我们可以从左上角开始，逐渐向下和向右移动，在每次移动时，我们更新备忘录表中的值，以存储从左上角到当前单元的最小路径总和。当我们到达右下角单元时，备忘录表中存储的值就是从左上角到右下角的下降路径的最小和。

算法步骤

以下是解决 LeetCode 931. 下降路径最小和问题的详细步骤：

初始化备忘录表 ：创建一个 n x n 的备忘录表，其中每个单元格的值都初始化为无穷大。
设置左上角单元 ：将备忘录表中左上角单元的值设置为矩阵左上角单元的值。
迭代矩阵 ：从左上角单元开始，依次向下和向右移动，直到到达右下角单元。
更新备忘录表 ：在每次移动时，我们都会更新备忘录表中的值。对于每个单元格，我们计算从左上角到当前单元的最小路径总和，并将其存储在备忘录表中。
返回结果 ：当我们到达右下角单元时，备忘录表中存储的值就是从左上角到右下角的下降路径的最小和。我们将该值作为结果返回。

代码示例

def minFallingPathSum(matrix):
    n = len(matrix)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j]
    return min(dp[-1])